Metode numerice (Curs 2)

.
- semnul “+” se consideră pentru f > 0 şi semnul “-“ se consideră pentru f < 0
METODE NUMERICE – curs 2

Fig. 2 Principiul rotunjirii simetrice:
Observaţie:
Neajunsul acestei maniere de reprezentare ? dacă numărul x este situat la jumătatea distanţei dintre două numere consecutive din F, atunci fl(x) poate lua oricare din cele două valori învecinate.
rotunjirea uniformă:
- semnul “+” se consideră pentru f > 0 şi semnul “-“ se consideră pentru f < 0;
- este adoptată de standardul IEEE
METODE NUMERICE – curs 2

u.c.(f) - impară
u.c.(f) - pară
eroare absolută
eroare relativă
METODE NUMERICE – curs 2

1.1.3 Operaţii elementare în virgulă mobilă
- se definesc operaţiile elementare care au loc cu elementele unei mulţimi F de numere în virgulă mobilă
⮚ Adunarea/ scăderea
- oricare ar fi două numere x şi y din mulţimea G, pentru care există fl(x) şi fl(y) aparţinând mulţimii F, numărului x + y i se asociază fl(x + y) conform algoritmului:
METODE NUMERICE – curs 2

Observaţii:
Deplasarea mantisei spre dreapta cu o poziţie determină creşterea exponentului cu o unitate, iar deplasarea spre stânga a mantisei cu o poziţie determină scăderea exponentului cu o unitate.
Scăderea se realizează la fel ca adunarea, cu deosebirea că mantisele se scad (scăderea reprezintă o adunare în care scăzătorul are semn schimbat).
Adunarea/ scăderea în virgulă mobilă nu este asociativă
METODE NUMERICE – curs 2

erori determinate de adunarea/ scăderea în virgulă mobile:
omiterea catastrofală ? apare atunci când se adună doi termeni şi valoarea absolută a unui termen este mai mică decât precizia de reprezentare a celuilalt termen; în acest caz, rezultatul este dat de termenul cu valoare absolută mai mare;
neutralizarea termenilor ? apare atunci când se adună numere cu semne diferite şi cu valori absolute apropiate; în acest caz, în mod eronat, rezultatul este nul.
⮚ precizia calculelor numerice ? caracterizată de două mărimi constante (“constante de maşină”):
Fig. 3 Conceptul de epsilon maşină
METODE NUMERICE – curs 2

⮚ Înmulţirea/ împărţirea
- oricare ar fi două numere x şi y din mulţimea G, pentru care există fl(x) şi fl(y) aparţinând mulţimii F, numărului x * y i se asociază fl(x * y) conform algoritmului:
Observaţii:
Împărţirea se realizează la fel ca înmulţirea, cu deosebirea că la pasul 2 fracţiile se impart şi exponenţii se scad.
Înmulţirea/ împărţirea în virgulă mobilă nu este asociativă.
METODE NUMERICE – curs 2

1.2 Propagarea erorilor în calculele numerice
eroarea totală dintr-un calcul numeric este generată de trei surse principale de erori:
erorile inerente
provin din datele iniţiale ale problemei de rezolvat (date care pot fi rezultatele unor măsurători experimentale sau ale altor calcule anterioare)
erorile provenite din faptul că se lucrează cu un model aproximativ al fenomenului real implicat în problema de rezolvat.
erorile de metodă - datorate metodei numerice utilizate
de exemplu, trunchierea unei serii sau construirea unui număr finit de termeni ai unui şir (determinarea limitei)
erorile de reprezentare sunt datorate posibilităţii effective, limitate, de a reprezenta numerele în calculatorul numeric
se manifestă în datele iniţiale, intermediare şi în cele de ieşire (rezultatele finale)
⮚ într-un calcul numeric erorile se propagă de la o operaţie la alta; pe măsură ce numărul operaţiilor dintr-un calcul creşte ? erorile se pot acumula excesiv de mult ? valoare total incorectă a rezultatului unui calcul
METODE NUMERICE – curs 2

☞ reguli generale pentru mărirea preciziei calculelor:
când se adună sau se scad numere, este recomandabil să se înceapă cu cele mai mici în valoare absolută, separat pentru cele negative şi separat pentru cele pozitive;
dacă este posibil, este recomandabil să se evite scăderea a două numere aproximativ egale; o expresie care conţine o astfel de scădere poate fi rescrisă
dacă regulile generale anterior enunţate nu se pot aplica, atunci se va urmări minimizarea numărului de operaţii aritmetice implicate
Exemplu:
Se consideră următoarele relaţii de calcul:
calcul exact
finit
calcul aproximativ
Explicaţii:
- are o infinitate de cifre ? se reprezintă aproximativ
? o infinitate de cifre în binar ? se reprezintă aproximativ
METODE NUMERICE – curs 2

1.3 Natura problemelor de calcul şi caracterizarea algoritmilor
1.3.1 Natura problemelor de calcul
se consideră:
P – o problemă de calcul;
D – set de date de intrare exacte;
D* - set de date de intrare uşor perturbate faţă de setul de date D;
P(D) – soluţia matematică exactă, obţinută lucrând cu datele exacte D;
P(D*) - soluţia matematică exactă, obţinută lucrând cu datele perturbate D*.
Definiţie:
Problema de calcul, P, se spune că este bine condiţionată dacă datele exacte ale problemei, D, şi datele perturbate ale problemei, D*, fiind apropiate într-un anumit sens, atunci şi soluţia exactă matematic a problemei de calcul corespunzătoare datelor exacte, P(D) este apropiată, într-un anumit sens de soluţia exactă matenatic a problemei de calcul corespunzătoare datelor perturbate. Altfel, se spune că problema de calcul este prost (rău) condiţionată.
METODE NUMERICE – curs 2

☞ o problemă este bine condiţionată dacă mici perturbaţii în una sau toate datele iniţiale ale problemei conduc la mici perturbaţii în datele de ieşire (rezultate sau soluţii).
numărul de condiţie al problemei P ? raportul dintre eroarea absolută în soluţiile problemei de calcul şi eroarea absolută în datele de intrare ale problemei de calcul:
k(P) = eP / eD
unde eP = |P(D) - P(D*)| şi eD = |D – D*|.
METODE NUMERICE – curs 2

Observaţie:
Dacă numărul de condiţie este egal cu 1 sau are valori apropiate de 1, se spune că problema este bine condiţionată. Dacă numărul de condiţie este mare sau foarte mare, atunci erorile din datele iniţiale sunt amplificate în soluţia problemei de calcul exactă matematic, problema de calcul fiind prost condiţionată.
1.3.2 Caracterizarea algoritmilor
se consideră:
P – o problemă de calcul;
D – set de date de intrare exacte;
D* - set de date de intrare uşor perturbate faţă de setul de date D;
P(D) – soluţia matematică exactă, obţinută lucrând cu datele exacte D;
P(D*) - soluţia matematică exactă, obţinută lucrând cu datele perturbate D*;
P* - algoritmul care implementează problema de calcul P.
☞ De exemplu, considerând că P este o problemă bine condiţionată şi că P* implementează exact soluţia P, totuşi P(D) ≠ P*(D) datorită aritmeticii în virgulă mobilă.
METODE NUMERICE – curs 2

Definiţie:
Un algoritm , P*, se numeşte stabil numeric, dacă datele exacte şi datele perturbate ale problemei de calcul P fiind apropiate într-un anumit sens, atunci şi soluţia exactă matematic corespunzătoare setului de date perturbate P(D*) este apropiată, într-un anumit sens, de soluţia algoritmului corespunzătoare setului de date exacte P*(D). Altfel, algoritmul se spune că este instabil din punct de vedere numeric.
☞ Altfel spus, erorile din datele de intrare sunt micşorate de un algoritm stabil numeric, un algoritm instabil numeric amplificându-le.
METODE NUMERICE – curs 2