Классы Фиттинга с заданными свойствами операторов Локетта

Цель
Данная дипломная работа направлена на изучение классов Фиттинга с заданными свойствами операторов Локетта и описание новых классов Фиттинга, удовлетворяющих гипотезе Локетта.

Классом Фиттинга называется класс групп F, удовлетворяющий следующим условиям:
каждая нормальная подгруппа любой группы из F также принадлежит F;
из того, что нормальные подгруппы A и B группы G принадлежат , всегда следует, что их произведение AB принадлежит F.
Напомним, что

Если F – произвольный непустой класс Фиттинга. Тогда F* - наименьший из классов Фиттинга, содержащий F,, такой, что (G×H) F*=GF*×HF* для всех групп G и H, а класс F* - пересечение всех таких классов Фиттинга X, для которых X*= F* для класса Фиттинга . Операторы «*» и «*» называются операторами Локетта.
Напомним, что

Классы Фиттинга конечных групп впервые рассматриваются в статье Фишера, Гашюца, Хартли. Центральное место среди проблем, связанных с построением структурной теории классов Фиттинга, занимает общая проблема определения структуры класса Фиттинга, известная в теории классов групп под названием "гипотеза Локетта". Ее возникновение обусловлено результатами Блессеноля-Гашюца и Локетта , которые в терминах радикалов определили два обширных семейства классов Фиттинга: нормальные классы, а также классы, которые в дальнейшем стали называть классами Локетта.
Введение

Нормальный класс Фиттинга – такой класс Фиттинга F , у которого в любой группе G ее F –радикал G F является F -максимальной подгруппой .
F -максимальная подгруппа группы G – такая F -подгруппа H из G, которая не содержится ни в какой большей F -подгруппе.
Напомним, что

Класс Локетта – такой класс Фиттинга F, что имеет место F= F*, где F* наименьший из классов Фиттинга, содержащий класс Фиттинга F, такой, что (G×H) F*=G F*×HF* для всех групп G и H, а класс F* - пересечение всех таких классов Фиттинга X, для которых X*= F* для класса Фиттинга .
Напомним, что

Каждый класс Фиттинга определяется как пересечение некоторого нормального класса Фиттинга и класса Локетта, порожденного F?
Гипотеза Локетта

Примечателен тот факт, что первоначально гипотеза Локетта была подтверждена для отдельных случаев локального класса Фиттинга. Для произвольных локальных классов Фиттинга указанная гипотеза подтверждена в разрешимом случае в 1988 году Н.Т.Воробьевым и в произвольном случае в 1996 году Галледжи. Для отдельных случаев частично локальных классов Фиттинга гипотеза Локетта была подтверждена Н.Т. Воробьевым, Е.Н. Залесской и Н.Н. Воробьевым в 2007 году, Е.Н. Залесской и Ж.П. Макаровой в 2012 году. Вместе с тем Бергер и Косси установили, что это предположение неверно для нелокальных классов Фиттинга

Локальная функция Хартли или H-функция– функция вида
f :P?{классы Фиттинга}.
Локальный класс Фиттинга F – такой класс Фиттинга, для которого существует Н-функция f такая, что F = LR(f).
Напомним, что

Таким образом, проблема описания классов Фиттинга, удовлетворяющих гипотезе Локетта, остается по-прежнему актуальной.
В данной работе гипотеза Локетта подтверждена для отдельных случаев произведений классов Фиттинга. Основным результатом является теорема 4.1.
Напомним некоторые основные определения.

Гомоморф– такой класс групп F, у которого каждая фактор-группа любой группы из F также принадлежит F.
Формация – гомоморф F, замкнутый относительно конечных подпрямых произведений.
Радикальный гомоморф – гомоморф F, который является классом Фиттинга.
Гомоморф F называется насыщенным, если из того, что G/Ф(G) ∈F,следует G ∈ F..
Основные определения

Формацию F называют насыщенной или локальной, если F замкнута относительно франттиниевых расширений, т.е. из того, что G/Ф(G)∊ F всегда следует G ∊ F .Ф(G) – подгруппа Фраттини группы G, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп G.
Основные определения

Теорема(4.1)

По лемме 3.7 докажем, что X * Y является L -классом.
Докажем, что F≠F*. Пойдем от противного.
По леммам 3.1 и 3.2 докажем равенство
X * Y =(X * Y )*.
Докажем равенство (X⋂S *) Y= X Y ⋂ S * Y
по лемме 1.2(b).
Схема доказательства

Из леммы 1.2(а) и условия следует равенство S * Y ⋂ S * X= S * (Y ⋂ X)=[(Y ⋂ X)-(1)]= S *
Получаем противоречие условию. Значит наше предположение не верно и класс F не является классом Локетта.
Схема доказательства

Полученные результаты можно использовать при изучении классов Фиттинга, а также при написании курсовых и дипломных проектов, чтении курсов по теории групп для студентов математических специальностей.

Данная работа выполнена в рамках ГПНИ «Конвергенция» подпрограмма «Математические методы» 2011-2015 гг.
Работа внедрена в учебный процесс кафедры алгебры и методики преподавания математики.
Результаты исследований представлены и приняты к печати в материалах «XII Белорусской математической конференции БМК-2016».