Исследование функции с помощью производной и построение графика функции

План исследования функции и построения графика
1. Найти область определения D(f) функции f(x).
2. Найти область значений E(f) (если это возможно вначале, часто E(f) можно указать только по результатам исследования).
3. Исследовать функцию на четность.
4. Исследовать функцию на периодичность.
5. Найти точки пересечения с осью Ox (нули функции) и точки пересечения с осью Oy.
6. Найти промежутки знакопостоянства функции.
7. Исследовать функцию на непрерывность, дать классификацию разрывов.
8. Найти асимптоты графика функции (вертикальную, наклонную, горизонтальную).
9. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.
10. Исследовать график функции на выпуклость, вогнутость, перегиб.
11. Построить график функции.

Нахождение области определения функции
Обозначение: D(f)
Определение: ООФ – это множество чисел, на котором задается функция. Если ООФ не указана, то считается, что ООФ состоит из всех значений х, при которых функция определена.

Какие могут быть препятствия для х?

Исследование функции на четность
Условие четности:
f(x)=f(-x); график симметричен относительно ОY.
Условие нечетности:
f(-x)= - f(x); график симметричен относительно начала координат.
Если эти условия не выполняются, то функция общего вида.

Исследование функции на периодичность

Пересечение с осями координат
Нули функции (пересечение с ОХ)
Решаем уравнение f(х)=0
Пересечение с ОУ
Находим f(0)

Промежутки знакопостоянства функции

Исследование функции на непрерывность

Примеры функций и видов разрыва

Функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки х=-1 , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки х=-1 , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Не путать с областью определения: D(f)=R

Функция непрерывна на всей числовой
прямой кроме точки х=1,
в которой она терпит разрыв 2-го рода.

Асимптоты графика

Исследование на монотонность и экстремумы
Найти производную функции.
Приравнять ее к 0.
Справа и слева от точек, в которых производная равна нулю, определить знак производной.
Найти промежутки возрастания и убывания функции. Если производная положительна, то функция возрастает; если отрицательна, то убывает.
Найти точки экстремума (или точки перегиба)
Найти значение функции в точках экстремума или точках перегиба (для построения графика).

Исследование на выпуклость, вогнутость, перегибы
Необходимо найти вторую производную функции и приравнять ее к нулю. Если вторая производная больше нуля, то на этом промежутке выпуклость вниз, если меньше – выпуклость вверх. Точка, в которой вторая производная равна нулю, является точкой перегиба. В ней меняется направление выпуклости.

Построение графика
В процессе исследования функции мы получили следующие точки графика:
Точки пересечения с осями
Точки максимума и минимума
Точки перегиба
Точки разрыва