Комбинаторика. Перебор вариантов. Решение задач

Комбинаторика – это большой и важный раздел математики, изучающий множества целых чисел и перестановки внутри этих множеств.
Задачу можно назвать комбинаторной, если ее решением является перебор элементов некоторого конечного множества.
Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать, таким образом, что он начинался бы словами:
* Сколькими способами…?
* Сколько вариантов…?
Для того чтобы решить задачу по комбинаторике, необходимо сначала понять её смысл, то есть, представить мысленно процесс или действие, описанное в задаче.

Существуют такие методы решения комбинаторных задач, как:
метод перебора;
табличный метод;
построение дерева возможных вариантов решений.

Метод перебора
Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.
Способ перебора может применяться в простых задачах, например в таких, как эта:
Задача 1. Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Двузначные числа состоят из двух цифр. Будем помещать по очереди каждую цифру на первую позицию в роли десятков, а потом все цифры переберём в качестве единиц:
11, 12, 13, 14, 15,
21, 22, 23, 24, 25,
31, 32, 33, 34, 35,
41, 42, 43, 44, 45,
51, 52, 53, 54, 55
Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Табличный метод
Решать комбинаторные задачи можно с помощью таблиц.
Задача 2. Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр
1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?
Решение:
Составим таблицу:
вверху первая строка – первые цифры искомых чисел,
слева первый столбец – вторые цифры (выбираем по условию только нечётные).

Построение дерева возможных вариантов решений
Задача 3. Катя собирается на каникулы. Она может поехать с бабушкой или с родителями. Если Катя поедет с бабушкой, то она сможет провести каникулы или на даче, или в городе, или в деревне. Если она поедет с родителями, то она сможет провести каникулы или отдыхая в санатории, или путешествия по горам,
или путешествуя на теплоходе. Сколько разных вариантов есть у Кати, чтобы провести свои каникулы?
Ответ: 6 вариантов
Решение: