Конструкция многообразий, ассоциированных с классическими системами корней

Пусть |R| = N — число корней в системе R, CN — комплексное пространство, ассоциированное с R. Через (uα)α∈R обозначим координаты в CN , упорядоченные относительно порядка, выбранного в R.
Опишем явно многообразия Бете-Дункла для классических систем корней. При этом, мы будем пользоваться оригинальным определением универсальных операторов Дункла. В этом случае многообразия Бете и Дункла задаются системами уравнений

соответственно, где γ, δ ∈ R, w ∈ W(R).

Случай A
Пусть дана система корней типа An−1 (n ≥ 2). Векторное пространство V — это гиперплоскость пространства Rn , состоящая из векторов, сумма координат которых равна нулю. Напомним, что корнями будут являться векторы вида

где (ei) — стандартный базис в Rn . В качестве базиса можно выбрать корни αk,k+1, где (1 ≤ k ≤ n). Тогда положительными корнями будут векторы αij c i < j. Простой подсчет показывает, что
|An−1| = n(n − 1).
Билинейная форма FAn−1 задается равенством

Для краткости, отражение относительно αij обозначим через sij . Таким образом, отражение однозначно определяется неупорядоченной парой {i, j} с i ≠ j.
Заметим, что можно считать i < j, так как sij = sji. Легко видеть, что отражение sij действует перестановкой координат xi и xj , т.е.
sij (. . ., xi , . . ., xj , . . .) = (. . ., xj , . . ., xi , . . .).

Далее, пусть даны отражения sij и skl. Когда все индексы по- парно различны, FAn−1 (αij, αkl) = 0. Поэтому этот случай можно исключить из рассмотрения. Остается исследовать ситуацию, когда из четырех индексов i, j, k, l только три различные.

Рассмотрим, например, произведение отражений sij и sik. Можно считать, что j < k, поскольку уравнение, выписанное по элементу группы Вейля w=sαsβ совпадает с уравнением, которое отвечает элементу w′=sβsα. Из известного соотношения
sαsβ = ssαβsα
вытекают следующие равенства:
sijsik = sjksij = siksjk.

Произведение sijsik отображает вектор (. . ., xi , . . ., xj , . . ., xk, . . .) в вектор (. . ., xj , . . ., xk, . . ., xi , . . .). По этой причине, других произведений (кроме указанных в последнем равенстве), обладающих данным свойством, быть не может.
Координату в пространстве Cn(n−1), отвечающую корню αij обозначим через uij .

Таким образом, уравнения, определяющие многообразие Бете-Дункла имеют вид:

Поскольку в системе типа An−1 все корни имеют одинаковую длину, то значение функции kα на всех корнях постоянно. В результате
т.е. на множестве

получаем эквивалентную систему линейных уравнений:
uij − uik + ujk = uji − uki + ukj , 1 ≤ i < j < k ≤ n. (1)
Лемма 17. Подсистема системы (1), состоящая из уравнений вида
u1j − u1k + ujk = uj1 − uk1 + ukj, 1 < j < k ≤ n.
линейно независима.

Доказательство. В системе корней An−1 введем отношение порядка следующим образом. Пусть i < j и k < l, тогда скажем, что αij ≺ αkl и αji ≺ αlk, если i < k или i = k, но j < l. Если же i < j и k > l, то αij ≺ αkl. Координаты пространства Cn(n−1) упорядочим относительно порядка ≺. Тогда матрица системы (1) имеет единичную подматрицу, порядок которой равен числу уравнений указанной подсистемы, что и доказывает независимость ее уравнений.

Далее, все уравнения системы (1), не входящие в указанную подсистему, являются линейными комбинациями уравнений подсистемы. В самом деле, если 1 ≤ i < j < k ≤ n, то, сложив уравнения
u1j − u1k + ujk = uj1 − uk1 + ukj ,
u1i − u1j + uij = ui1 − uj1 + uji,
u1k − u1i + uki = uk1 − ui1 + uik,
получим уравнение
uij − uik + ujk = uji − uki + ukj.

Так как число таких уравнений равно
а переменных n(n − 1), то размерность многообразия Бете-Дункла равна
Итак, доказана
Теорема 11. Многообразие Бете-Дункла, ассоциированное с системой корней типа An−1 представляет собой плоскость
u1j − u1k + ujk = uj1 − uk1 + ukj , 1 < j < k ≤ n

в пространстве Cn(n−1) с исключенными гиперплоскостями uij − uji = 0, где 1 ≤ i < j ≤ n. Его размерность равна
Пример. Рассмотрим описанную конструкцию для системы корней типа A3. Всего имеется 12 корней, 6 из которых положительны. Поэтому для написания системы достаточно рассмотреть следующие элементы группы Вейля:

w123 = s12s13 = s23s12 = s13s23,
w124 = s12s14 = s24s12 = s14s24,
w134 = s13s14 = s34s13 = s14s34,
w234 = s23s24 = s34s23 = s24s34.
Система (1) имеет следующий вид:

Последнее уравнение этой системы, как легко видеть, является линейной комбинацией первых трех. Относительно порядка, введенного при доказательстве леммы, система из первых трех уравнений имеет матрицу

Поэтому система, составленная из них, линейно независима. Следовательно размерность многообразия равна 9, что согласуется с доказанной теоремой.

Случай D
Рассмотрим систему корней типа Dn (n ≥ 3). Относительно базиса αk−1,k = ek−1−ek (1 ≤ k ≤ n), βn−1,n = en−1+en положительными корнями являются векторы αij = ei−ej , βij = ei+ej , где 1 ≤ i < j ≤ n.
Имеют место формулы: |Dn| = 2n(n − 1),

Отражение относительно вектора αij обозначим, как и выше, через sij , а относительно вектора βij — через σij . Эти отражения действуют на V = Rn по формулам:
sij (. . ., xi , . . ., xj , . . .) = (. . ., xj , . . ., xi , . . .),
σij (. . ., xi , . . ., xj , . . .) = (. . ., −xj , . . ., −xi , . . .).

Как и в предыдущем случае, произведения sijsik, sjksij , siksjk и только они, отображают вектор (. . ., xi , . . ., xj , . . ., xk, . . .) в вектор (. . ., xj , . . ., xk, . . ., xi , . . .). Остаются произведения вида sijσkl. В том случае, когда индексы i, j, k, l попарно различны или i = k, j = l, очевидно, что FDn (αij, βkl) = 0. Поэтому достаточно рассмотреть элементы вида sijσik и sijσki. Ясно, что
sijσik = σjksij = σikσjk,

sijσik(. . ., xi , . . ., xj , . . ., xk, . . .) =
(. . ., xj , . . ., −xk, . . ., −xi , . . .)
и других произведений, осуществляющих такое отображение нет. Сказанное относится и к элементу sijσki.

Координаты, отвечающие корням αij , −αij , βij , −βij , обозначим через uij, uji, vij, vji соответственно.
Многообразие Бете-Дункла, ассоциированное с Dn вложено во множество

После соответствующих преобразований, уравнение, отвечающее элементу sijsik, примет вид:
uij − uik + ujk = uji − uki + ukj ;
а элементу sijσik —
uij − vik + vjk = uji − vki + vkj, если j < k,
uij − vik + vkj = uji − vki + vjk, если k < j.

Для произведения sijσki уравнения имеют аналогичную форму:
uij − vki + vjk = uji − vik + vkj, если j < k,
uij − vki + vkj = uji − vik + vjk, если k < j.
Индексы i, j, k принимают целые значения
от 1 до n.

Напомним, что рассматриваются только положительные корни, поэтому первый индекс отражения всегда выбирается меньше второго. Таким образом, система уравнений (2)
полностью определяет многообразие Бете-Дункла. Но в ней имеются линейно зависимые уравнения.

Лемма 18. Система линейных уравнений (3)
эквивалентна системе (2) и линейно независима.

Доказательство. Линейная независимость уравнений системы устанавливается по ее матрице, которая при подходящем выборе по- рядка во множестве координат имеет ступенчатый вид.
Докажем теперь эквивалентность систем (2) и (3). Во-первых, вычитая

ui,i+3 − vi,i+1 + vi+1,i+3 = ui+3,i − vi+1,i + vi+3,i+1
из
ui,i+3 − vi,i+2 + vi+2,i+3 = ui+3,i − vi+2,i + vi+3,i+2,
получим уравнение
vi,i+1 − vi,i+2 − vi+1,i+3 + vi+2,i+3 = vi+1,i − vi+2,i − vi+3,i+1 + vi+3,i+2.

Точно также разность уравнений
ui,i+1 − vij + vi+1,j = ui+1,i − vji + vj,i+1
и
ui,i+1 − vi,j+1 + vi+1,j+1 = ui+1,i − vj+1,i + vj+1,i+1
дает уравнение
vij − vi,j+1 − vi+1,j + vi+1,j+1 = vji − vj+1,i − vj,i+1 + vj+1,i+1.

Таким образом, каждое уравнение системы (3) является линейной комбинацией уравнений системы (2).
Далее, уравнение
uij − uik + ujk = uji − uki + ukj
является разностью суммы уравнений
uij − vik + vjk = uji − vki + vkj ,
ujk − vij + vik = ukj − vji + vki
и уравнения uik − vij + vjk = uki − vji + vkj .

Каждое из последних уравнений можно получить из уравнений системы (3).
Например, уравнение
uij − vi,j+2 + vj,j+2 = uji − vj+2,i + vj+2,j
получается сложением уравнений

Аналогичные рассуждения проходят и для остальных уравнений системы, что завершает доказательство леммы. (доказано)
Доказанная лемма позволяет вычислить размерность многообразия Бете-Дункла для системы корней типа Dn. Так как количество уравнений системы (3) равно n(n−2), то размерность многообразия равна n2 . В результате доказана