Л.10_Непрерывность функции

Лекция № 10
Непрерывность функций
Учебные вопросы:
В1. Непрерывность функций в точке и на множестве.
В2. Свойства непрерывных функций.
В3. Классификация точек разрыва функции.

Лекция № 10
Непрерывность функций
В1. Непрерывность функций в точке и на множестве.

Лекция № 10
Непрерывность функций
В1. Непрерывность функций в точке и на множестве.
Определение 1. Функция f(x) непрерывна в точке х0, если она определена в этой точке и ее окрестности, существует предел функции и он равен значению функции в этой точке, то есть
или

Лекция № 10
Непрерывность функций
Определение 2. Если f(x) – непрерывна ∀х∈Х, то говорят, что она непрерывна на Х и пишут f(x)∈CX.

Лекция № 10
Непрерывность функций
Теорема 1. Для того, чтобы
необходимо и достаточно, чтобы бесконечно малому соответствует бесконечно малое

Лекция № 10
Непрерывность функций
Пример 1. Исследовать функцию у=х на непрерывность.
Пример 2. Исследовать функцию
на непрерывность.

Лекция № 10
Непрерывность функций

Лекция № 10
Непрерывность функций

Лекция № 10
Непрерывность функций
Определение 3. Функция f(x) - непрерывна в точке х0, если она непрерывна и слева и справа в точке х0 , т.е.
- необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке .

В2. Свойства непрерывных функций
Теорема 2. Если U(x), V(x) непрерывны в точке х0, то функции U±V, U⋅V, U/V, (V(x0)≠0) непрерывны в точке х0.
Лекция № 10
Непрерывность функций

Теорема 3. Если функция f(u) непрерывна в точке u0, а функция u=φ(x) – непрерывна в точке x0, (φ(x0)=u0), тогда сложная функция f(φ(x)) непрерывна в точке x0.
Лекция № 10
Непрерывность функций

Теорема 4. Основные элементарные функции (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрическим) непрерывны в своей области определения.
Лекция № 10
Непрерывность функций

Свойства функций непрерывных на отрезке
Теорема 5 (Больцано-Коши). Пусть функция f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков, тогда между a и b найдется точка с, в которой функция обращается в нуль f(c)=0 (a < c < b).
.
Лекция № 10
Непрерывность функций

Лекция № 10
Непрерывность функций

Теорема 6 (о промежуточных значениях). Если функция f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b] и на концах этого промежутка принимает неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то, каково бы ни было число С, лежащее между А и В, найдется такая точка с между a и b, что
f(c) = C.
.
Лекция № 10
Непрерывность функций

Лекция № 10
Непрерывность функций

Теорема 7. (Первая теорема Вейерштрасса) Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие
–M ≤ f(x) ≤ M.
.
Лекция № 10
Непрерывность функций

Теорема 8 (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b], то она ограничена снизу и сверху, то есть существуют такие постоянные и конечные числа m и М, что
m ≤ f(x) ≤ M при a ≤ x ≤ b.
Лекция № 10
Непрерывность функций

В3. Классификация точек разрыва функции
Определение 4. Точкой разрыва функции f(x) называется точка x0, в которой функция f(x) не обладает свойством непрерывности.
Лекция № 10
Непрерывность функций

Определение 5. Если у функции f(x) в точке x0 существуют конечные левый и правый пределы f(x0–0), f(x0+0), но или
а) f(x0–0)≠f(x0+0), или
б) f(x0–0)=f(x0+0), но либо
f(x0–0)=f(x0+0)≠f(x0), либо f(x0) не существует, то точку x0 называют точкой разрыва первого рода.
Лекция № 10
Непрерывность функций

Определение 6. Если в x0 разрыв первого рода и f(x0–0)=f(x0+0)≠f(x0) либо f(x0–0)=f(x0+0), а f(x0) не существует, то разрыв называется устранимым разрывом первого рода
Лекция № 10
Непрерывность функций

Определение 7. Если в x0 разрыв первого рода и f(x0–0)≠f(x0+0), то разрыв называется неустранимым разрывом первого рода .
Лекция № 10
Непрерывность функций

Лекция № 10
Непрерывность функций

Определение 8. Если не существует хотя бы один из односторонних пределов функции f(x0–0), f(x0+0) или хотя бы один из них равен бесконечности, то x0 – называют точкой разрыва функции f(x) второго рода .
Лекция № 10
Непрерывность функций

Лекция № 10
Непрерывность функций

Пример. Исследовать функцию (a>1) на непрерывность.
Лекция № 10
Непрерывность функций

Лекция № 10
Непрерывность функций