Lektsia_5

Производные высших порядков
Итак:
Производной n – ого порядка (или n – ой производной) называется производная от производной n -1 - ого порядка.
Производная от производной второго порядка, если она существует называется производной третьего порядка и обозначается:
Итак:

Производные высших порядков
- производная пятого порядка.
Начиная от производной 4 порядка , производные обозначаются римскими цифрами или цифрами в скобках:
Вычислить производную n – ого порядка от функции:

Производные от функций, заданных параметрически
Производная первого порядка от этой функции находится по формуле:
Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями:
Найдем производную второго порядка:
Аналогично получаем:
и т. д.

Производные от функций, заданных параметрически
Вычислить производную 3 – ого порядка от функции:

Дифференциал функции
Пусть функция y = f(x) имеет в некоторой точке х отличную от нуля производную, следовательно существует предел:
где
при
По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции

Дифференциал функции
Дифференциалом функции y = f(x) в точке х называется главная часть ее приращения:
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной
Поэтому:
Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной

Геометрический смысл дифференциала
Проведем к графику функции y = f(x) в точке М(x, y) касательную
х
f(x )
x+Δx
М
М1
f(x+ Δx )
Рассмотрим ординату касательной для точки x+Δx.
Согласно геометрическому смыслу производной,
B
A
Из прямоугольного треугольника AВМ имеем:
Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получает приращение Δx.

Основные теоремы о дифференциалах
Теорема 1
Дифференциал суммы, разности, произведения и частного двух дифференцируемых функций находится по формулам:
Теорема 2
Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

Приложение дифференциала в приближенных вычислениях
Как известно, приращение функции можно представить в виде:
Это равенство позволяет с большой точностью вычислять приращение любой дифференцируемой функции.
Подставим в равенство выражения для приращения и дифференциала функции:
Формула позволяет приближенно вычислять значение функции в точке x0+Δx, зная значение функции в точке x0.
0
0
0

Приложение дифференциала в приближенных вычислениях
Вычислить приближенно:
Рассмотрим функцию:
Так как
то

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ролля
Геометрическая интерпретация:
Если функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, то на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси OX.
(теорема о корнях производной)

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Коши
(теорема об отношении приращений)
Теорема Лагранжа
(теорема о конечных приращениях)
На графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна хорде AB

Правило Лопиталя
Теорема
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида
и
, который основан на применении производной.
то
Теорема справедлива также в случае, если

Правило Лопиталя