Лекция Алгебраические системы

N-АРНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ
Функция f:An->B называется n-местной функцией из А в В.
Функция f:An->А называется n-местной алгебраической операцией на А.
При n=1 операция называется унарной.
При n=2 операция называется бинарной.
При n=0 операцию принято называть константой.
Очевидно, что n-местная операция на множестве А является (n+1)-местным отношением на том же множестве.
Если область значений операции лежит в А, то будем говорить, что операция f замкнута на А.
Сигнатурой называется совокупность предикатных и функциональных символов с указанием их местности.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Алгебраической системой (А;Σ) сигнатуры Σ называется непустое множество А, где каждому n-местному предикатному (функциональному) символу из Σ поставлен в соответствие n-местный предикат (операция), определенный на множестве А.
Множество А называется носителем или универсумом алгебраической системы (А;Σ).
Мощностью а.с. называется мощность ее носителя.
А.с. называется алгеброй, если ее сигнатура состоит только из функциональных символов.
А.с. называется моделью, если ее сигнатура состоит только из предикатных символов.

АЛГЕБРЫ С ОДНОЙ ОПЕРАЦИЕЙ
Группоид – алгебра (A,·) с одной бинарной операцией. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.
Полугруппа – группоид с ассоциативной операцией (т.е. для всех x,y,z ∈ A верно (x·y)·z=x·(y·z) ).
Пример: (N,+)
Элемент е∈А такой, что е·х=х·е=х для всех х∈А, называется единицей.
Моноид – полугруппа с единицей.
Пример: (N,·)

ГРУППА
Элемент х-1∈А, такой что для х∈А х· х-1= х-1 ·х=е, называется обратным к х. Элемент х называется обратимым.
Группа – моноид (А, ·), у которого для любого элемента существует обратный.
Пример: (Z,+)
Абелева (коммутативная) группа – группа (А, ·), где операция · коммутативна (т.е. х ·у=у ·х для всех х,у∈А).
Пример: (Z,+)

АЛГЕБРЫ С ДВУМЯ ОПЕРАЦИЯМИ
Кольцо — множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых a , b , c ∈ R:
Иными словами, кольцо —алгебра ( R , + , × ), являющаяся абелевой группой относительно сложения +, полугруппой относительно умножения × , и обладающая двусторонней дистрибутивностью × относительно +.
Пример: (Z,+,·).

ТЕЛО
Кольцо с 1 – кольцо, содержащее нейтральный элемент e∈R относительно умножения (е·х=х·е=х для всех х∈R).
Тело — кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим (относительно умножения).
Иными словами, тело - это множество с двумя операциями (сложение и умножение), обладающее следующими свойствами:
образует абелеву группу относительно сложения;
все ненулевые элементы образуют группу относительно умножения;
имеет место дистрибутивность умножения относительно сложения.

ПОЛЕ
Поле - множество F с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения + и умножения * ( + : F × F → F , ∗ : F × F → F, для которого выполняются следующие аксиомы:
Поле - алгебра ( F , + , × ), являющаяся абелевой группой по сложению, все его ненулевые элементы образуют абелеву группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

ПРИМЕРЫ ПОЛЯ

МНОГООСНОВНАЯ АЛГЕБРА
Многоосновной алгеброй (многоосновной универсальной алгеброй) называется (A1,A2,…,An, ∑), где A1,A2,…,An– произвольные непустые множества (основы алгебры) и ∑ - множество полиморфных операций на указанных основах (в общем случае различной арности) - сигнатура многоосновной алгебры.
Отличие полиморфных операций от алгебраических состоит в
том, что аргументы такой операции могут выбираться в нескольких
основах, а результат (значение) может принадлежать любой из основ
(может быть не имеющей никакого отношения к тем основам, откуда
выбирались аргументы).
Аналогично определяются многоосновные модели и многоосновные АС.

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Линейное, или векторное, пространство V ( F ) над полем F — это упорядоченная четвёрка ( V , F , + , ⋅ ), где
V — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами.
F — поле, элементы которого называются скалярами.
Определена операция сложения векторов V × V → V, сопоставляющая каждой паре элементов x , y∈V единственный элемент множества V, называемый их суммой и обозначаемый x + y.
Определена операция умножения векторов на скаляры F × V → V, сопоставляющая каждому элементу λ поля F и каждому элементу x множества V единственный элемент множества V, обозначаемый λ ⋅ x.