ЛекцияЭлементы комбинаторики

Правило произведения
Комбинаторика
– это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n•m различных пар с выбранными таким образом первым и вторым элементами.

Перестановками из n элементов называются соединения (комбинации), которые состоят из одних и тех же n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.

Число перестановок:
(1)
Произведение первых n натуральных чисел обозначают
n! (читается «эн факториал»)
n! = 1⋅2⋅3⋅...⋅(n –2)(n–1)n
Pn = n(n –1)(n – 2)⋅...⋅3⋅2⋅1
(2)
Pn = n!
(3)

Размещениями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.
Обозначение:
⎯ читают «А из эм по эн»:
= 12.

= m(m – 1)(m – 2) • … • (m – (n – 1))
= 4 • 3 = 12;
= 4 • 3 • 2 = 24;
= 5 • 4 • 3 = 60
=
(1)
(2)

Сочетаниями из m элементов по n в каждом (n≤m) называются соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.
Обозначают

Образуем все соединения, содержащие n элементов, выбранных из данных m разных элементов, без учета порядка их расположения. Число таких соединений
Из каждого полученного соединения перестановками его элементов можно образовать Рn=n! соединений, отличающихся одно от другого только порядком расположения его элементов. Получим все размещения из mэлементов по n, число которых равно
По правилу произведения число таких соединений равно