Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные диференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от 17.06.10
Алгоритм решения ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами
1. Составить характеристическое уравнение (y =ekx).
2. Найти его корни k1, k2, …kn.
3. По характеру корней найти частные линейно независимые решения y1(x), y2(x),… ,yn(x) согласно таблице 4.
4. Записать общее решение
y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) +…+ Cn yn (x).

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные диференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от 17.06.10

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные диференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от 17.06.10
ЛНДУ с произвольными коэффициентами
Вспомним, что ЛНДУ имеет вид
y(n) + p1(x) y(n-1) + …+ pn-1(x) y' + pn(x) y = f(x), (9)
где p1 (x), p2(x), …, pn (x), f(x) – заданные функции аргумента x, причем f(x) ≠ 0 .
Теорема 4. (О структуре общего решения ЛНДУ)
Общее решение ЛНДУ есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
При n = 2, ЛНДУ 2-го порядка
y'' + p1(x) y' + p2(x) y = f(x). (9')

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные диференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от 17.06.10
ЛНДУ с произвольными коэффициентами
Теорема 5. (Принцип суперпозиции решений)
Если функция y i (x) – является решением ЛНДУ
y (n) + p1(x) y(n-1) + …+ pn-1(x) y' + p n (x) y = f i (x), (11)
то функция
y = α1 y1 + α2 y2 +…+ αk yk
является решением уравнения
y(n) + p1(x) y(n-1) + …+ pn(x) y = α1 f1 (x) + α2 f2(x) +…+ αk fk (x) . (12)
При n = 2, ЛНДУ 2-го порядка
y'' + p1(x) y' + p2(x) y = α1 f1 (x) + α2 f2(x).

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные диференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от 17.06.10
ЛНДУ n-го порядка
Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами
y(n) + p1 y(n-1) + …+ pn-1 y' + pn y = f (x) ,
где коэффициенты p1 , p2 ,…, pn-1 , pn – const.
Метод неопределенных коэффициентов можно применить, если правая часть имеет вид
f (x) = e px [Pm (x) cos q x +Ql (x) sin q x],
где Pm (x) и Q l (x) – многочлены степени m и l соответственно, p и q – некоторые числа.

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные диференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от 17.06.10
Форма частного решения

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные диференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от 17.06.10
ЛНДУ n-го порядка
Замечание 1. Степени многочленов Pm (x) и Q l (x) в случаях 3,4 таблицы 5 можно считать одинаковой (max {m, l}). В этом случае коэффициенты при недостающих степенях одного из многочленов можно считать равными нулю.
Замечание 2. Правая часть уравнения может содержать несколько слагаемых; в этом случае частное решение также составляется из нескольких слагаемых в соответствии с теоремой 5.

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные диференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от 17.06.10
Метод Лагранжа для ЛНДУ в п
Система линейных неоднородных уравнений с n неизвестными функциями Ci (x), i = 1, 2, …, n:
(17)

www.themegallery.com
Бер Л.М. Обыкновенные диференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от 17.06.10
Алгоритм решения ЛНДУ n-го порядка
методом Лагранжа
1. Найти ФСР ЛОДУ соответствующего ЛНДУ и записать его общее решение:
y (x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) +…+ Cn yn (x).
2. Записать решение ЛНДУ в форме общего решения ЛОДУ, считая C i = C i (x), i = 1, 2, …, n :
y (x) = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2(x) +…+ Cn (x) yn (x). (18)
3. Построить систему для определения C i' (x) и решить ее согласно (17).
4. Найти Ci (x) и подставить их в общее решение ЛНДУ (18).