Линии и углы в окружности

Нам известно…
касательная
диаметр
секущая
хорда
О линиях…
Дуга окружности
радиус
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

О линиях в окружности…
Если хорды
равноудалены от центра
окружности,
то они равны
Если диаметр
делит хорду пополам,
то он перпендикулярен
данной хорде
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Равные дуги
стягиваются
равными хордами
Дуги,
заключенные между
параллельными хордами,
равны
О линиях в окружности…
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Произведение отрезков
одной из двух пересекающихся хорд
равно произведению отрезков другой хорды
АК · КВ
В
Д
А
С
К
=
СК · КД
О линиях в окружности…
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Нам известно…
Центральный угол
Вписанный угол
Об углах…
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Об углах в окружности…
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается
А
В
О
Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается
А
В
С
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Вписанный и центральный углы, опираются на одну дугу
Вписанный угол,
опирающийся на полуокружность - прямой
диаметр
Об углах в окружности…
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Вписанные углы опираются на одну хорду, вершины – по одну сторону от хорды
Вписанные углы опираются на одну хорду, вершины – по разные стороны от хорды
Об углах в окружности…
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Теоремы об углах и не только…
измеряется полусуммой заключенных между ними дуг
А
Д
Е
В
С
Угол между двумя пересекающимися хордами
Если из одной точки проведены две касательные,
то отрезки касательных равны между собой
А
В
С
АВ = АС
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Теоремы об отрезках
А
М
В
Если через т. М проведены секущая, пересекающая Окр. в точках А и В, и касательная МК (К – т.касания),
то МА · МВ = МК²
К
Если из т. М проведены две секущие, пересекающие Окр. в точках А и В, С и Д соответственно,
то МА · МВ = МС · МД
М
В
С
Д
А
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Теоремы об углах
равен 180° минус величина дуги меньшей полуокружности, заключенной между касательными
А
М
В
Угол между касательными, проведенными из одной
точки,
Угол между касательной и хордой, проходящей через
точку касания,
измеряется половиной заключенной в нем дуги
А
В
С
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Теоремы об углах
А
М
В
К
Угол между касательной и секущей, проведенными из
одной точки,
измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг
А
В
К
М
Угол между секущими, проведенными из одной точки,
измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг
Р
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Проверь себя…
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
Если дуга окружности составляет 80°, то центральный угол, опирающийся на эту же дугу, равен 40°.
Вписанные углы окружности равны.
Если вписанный угол равен 30°, то центральный угол равен 60°.
Вписанный угол в два раза меньше центрального угла.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Если вершины вписанных углов, опирающихся на одну хорду, лежат по одну сторону от данной хорды, то эти вписанные углы равны.
Ответы
Нет
Да
Нет
Нет
Нет
Нет
Да
Да
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Тренировочные задачи
Найти градусную меру угла АВС (О – центр окружности)
110°
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Тренировочные задачи
Найти градусную меру угла АВС (О – центр окружности)
32°
Угол ВДС = 24°
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Тренировочные задачи
Найти градусную меру угла АВС (О – центр окружности)
43°
Д
А
Угол ДВА = 120°
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Тренировочные задачи
Найти градусную меру угла АВС (О – центр окружности)
70°
Д
А
51°
В
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Зарядка для глаз
Следите за точкой
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Задача
Угол между радиусом АО окружности, описанной около треугольника АВС и стороной АС равен 45°. Найдите угол А треугольника АВС, если угол С равен 25°.
Ответ: 110 ° ; 20°
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Задача
На стороне АВ угла АВС, равного 30° взята точка Д такая АД=2, ВД=1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и Д, и касающейся прямой ВС.
Ответ: 1 ; 7
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Задача
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Пусть К – точка пересечения диагоналей вписанного в окружность четырехугольника АВСМ (АВ>СМ), угол МКС равен , а угол между прямыми АМ и ВС равен . Найти углы МВС и ВМА.
Задача
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области

Окружность касается сторон АВ и АС треугольника АВС и пересекает сторону ВС в точках P и Q, BP=CQ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
Задача
Громова И.А., учитель МБОУ СОШ № 7 г.Шарья Костромской области