Векторы в пространстве. Понятие вектора

Понятие вектора
Отрезок, для которого указано, какая его граничная точка является началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором
Конец вектора
Начало вектора
либо а
a

Длина вектора
Длиной вектора или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору
Коллинеарные векторы
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

Сонаправленные векторы
Коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными векторами

Противоположно направленные векторы
Коллинеарные векторы, имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами

Равенство векторов
Векторы называются равными, если:
1) они сонаправлены ;
2) их длины равны.
m

Векторы в пространстве

Сложение векторов
Правило треугольника
Построение:

Сложение векторов
Правило параллелограмма
Построение:

Правило параллелепипеда

Правило многоугольника

Вычитание векторов
Построение:

Сумма и разность векторов

Законы сложения векторов
Назад

Умножение вектора a на число k
k·a = b,
|a| ≠ 0, k – произвольное число
|b| = |k|·|a|,
если k> 0, то a ↑↑ b
если k< 0, то a ↑↓ b

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число

Компланарные векторы
Векторы называются компланарными,
если при откладывании их от одной точки они будут
лежать в одной плоскости.
Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора считаются компланарными.
Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
Замечания

Компланарные векторы

Прямоугольная система координат
Тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат.
Впервые введена Р.Декартом(1596-1650)

Координаты точки
Каждая точка в пространстве задаётся тройкой чисел (x,y,z ) называемых координатами точки в пространстве

Координаты вектора
Векторы (i. j. k) единичные векторы
Любой вектор можно разложить по координатным векторам

Длина вектора

Скалярное произведение векторов