Математическая статистика. Лекция 2

ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Что общего и чем отличаются ТВ и МС?
ТВ: разработка методов нахождения вероятностей сложных событий, исходя из известных вероятностей более простых событий.
МС:
прикладная дисциплина, базируется на понятиях и методах теории вероятностей, но решает задачи, обратные теории вероятностей
восстанавливает по данным измерений или наблюдений неизвестные вероятности событий или неизвестные законы распределения случайных величин.

разрабатывает методы, позволяющие по статистическим данным делать выбор одного из нескольких, противоречащих друг другу, предположений (гипотез) относительно законов распределения случайных величин или о значениях параметров распределений.
разрабатывает методы получения, описания и обработки опытных данных для изучения закономерностей случайных
массовых явлений

Особенность идей и методов математической статистики — универсальность, возможность использования в различных приложениях.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МС
Генеральная совокупность
Выборка
Вариационный ряд
Теоретическая функция распределения

ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ
Пусть исследуется некоторая совокупность объектов, каждому из которых ставится в соответствие некоторая числовая функция — случайная величина X распределенная по некоторому неизвестному закону.

Практически, мы отождествляем наблюдаемые объекты и сопоставляемые им случайные величины, абстрагируясь от физической природы объектов.
Поэтому генеральной совокупностью будем считать множество значений, которые может принимать случайная величина X.

Выборка
В ходе каждого из испытаний мы случайным образом выбираем один из элементов генеральной совокупности и находим соответствующее ему значение X. Набор чисел
будем называть выборкой объема n из генеральной совокупности, а числа Xi — элементами выборки.

ВЫБОРКИ ДОЛЖНЫ БЫТЬ РЕПРЕЗЕНТАТИВНЫМИ
Т.Е. Представительными, — должны давать обоснованное представление о генеральной совокупности.
Чтобы обеспечить представительность, выборка должна быть случайной.

Теоретическая функция распределения
Рассмотрим выборку единичного объема X1 . Поскольку выбор случаен, то X1 – случайная величина и, как всякая случайная величина, имеет функцию распределения F(x) = P(X1< x). Для выборки произвольного объема n каждый элемент будет иметь точно такую же функцию распределения, если
выборка с возвращением или
генеральная совокупность бесконечного объема.

С точки зрения теории вероятностей выборку
можно трактовать как совокупность независимых,
одинаково распределенных случайных величин с
функцией распределения F(x) = P( X < x).
Функция F(x) называется теоретической функцией распределения.
Совместная функция распределения выборки задается формулой:

Простейшие статистические преобразования

Вариационный и статистический ряды
Вариационный ряд X(1),…, X(n) представляет собой ту же выборку X1,…,Xn, но расположенную в порядке возрастания элементов:
Такое преобразование выборки не приводит к потере информации относительно теоретической функции распределения

Выборка
Вариационный ряд
РАНГ элемента выборки -- порядковый номер элемента в вариационном ряду

ВЫБОРКА И ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД

Если среди элементов выборки (вариационного ряда) есть одинаковые, то наряду с ВАРИАЦИОННЫМ рядом используется СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД --- таблица, в которой указаны все различные значения вариационного ряда ( ВАРИАНТЫ ) и их количество.
Статистический ряд характерен для выборок из дискретных распределений, а также и для выборок из непрерывных распределений, полученных при измерениях с округлением.

Статистический ряд
Z1 < Z2 < … < Zk

ВЫБОРКА ИЗ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СТАТИСТИКИ
Статистика S --- это произвольная измеримая k-мерная функция от выборки, не содержащая неизвестных параметров распределений.

Достаточные статистики --- такие, которые содержат всю ту информацию о теоретической функции распределения, что и выборка

ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ЭФР)--- аналог теоретической функции:
Fe(x) = mx / n
где mx --- число элементов выборки, значения которых не превышает данное x
n ---объем выборки.

Теоретическая функция распределения и её оценка
n = 10
n = 500

Гистограмма и полигон

Гистограмма и полигон