Математика. Основные понятия математики

Образование - это не изучение фактов, а тренировка мышления
Альберт Эйнштейн
Образование – то, что остается после того, когда забывается все, чему учили.
Альберт Эйнштейн
Математика — это единственный совершенный метод водить самого себя за нос.
Альберт Эйнштейн
Умение мыслить математически — одна из благороднейших способностей человека.
Бернард Шоу

Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы
Термин μᾰθημᾰτικά в современном значении «математика» встречается уже в трудах Аристотеля (IV в.до н. э.). В русский язык слово пришло либо через польск. matematyka, либо через лат. mathematica
Что есть математика?
Математика – язык, на котором говорят все точные науки
Н.И.Лобачевский
Математика – это больше, чем наука, это язык науки
Н.Бор
Слово «математика» =
μάθημα
изучение, знание, наука
μαθηματικός
+
восприимчивый, успевающий
Др.греческий
Считается, что дальнейшее развитие гуманитарных наук без математического моделирования и точных количественных методов исследования, широкого использования современных вычислительных средств просто невозможно. Правда, математика пока не располагает средствами, в полной мере отвечающими потребностям этих наук. По всей видимости, создание соответствующего аппарата может явиться только результатом вполне осознанных совместных действий как математиков, так и тех ученых, профессиональные интересы которых лежат в гуманитарной сфере.

Гуманитарный потенциал математики
1. Математика «ум в порядок приводит» - влияние математики на формирование мышления и личностных черт человека
2. Математика формирует навык предметной речи, строящейся по определенным законам (краткость, четкость, лаконичность, минимизация и др.), а предметная речь оказывает существенное влияние на развитие литературной речи
3. Математика позволяет вывести гуманитарные исследования на более высокий научный уровень: она дает такие инструменты, как моделирование и точные количественные методы исследования

Возникновение математических понятий. Развитие понятия числа. Числа от натуральных до вещественных (и дальше)
Возникновение арифметических операций. Возникновение уравнений.
Виды систем линейных уравнений. Геометрическая интерпретация решений.
Вопросы для конспекта лекции

Возникновение математики
1. Возникновение понятий
Геометрическая фигура
Число
идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов
- одно из основных математических понятий, которое позволяет выразить результаты измерения или счета
Понятие числа служит исходным для множества математических теорий
понятие геометрической
фигуры образовалось с
помощью абстракции отождествления, в основе которой
лежит отношение эквивалентности «сходство», «подобие»
предметов по их форме, с помощью которого множество предметов разбивается на классы эквивалентности так, что любые два пред­мета одного класса имеют одинаковую форму, а любые два предме­та различных классов — различные формы. Абстрагируясь при этом от других свойств предметов (цвета, величины, материала, из кото­рого они сделаны, назначения и т. д.), мы получаем самостоя­тельное понятие геометрической фигуры.

Возникновение математики
1. Возникновение понятий
Геометрическая фигура
Число
идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов
Системы счета и принцип наименования чисел
Счёт появился тогда, когда человеку потребовалось сообщить друг другу о количестве обнаруженных им предметов
«много»
«один»
«два»
Двоичная система
Первобытный человек не отделял от конкретного представления абстрактное. Счет был вещественным. Использовались пометки, камешки, пальцы и т. п. Применяли для запоминания его результатов узелки, зарубки и пр. После изобретения письменности начали использовать буквы и особые значки для сокращенного изображения на письме больших чисел. Обычно воспроизводился при таком кодировании принцип нумерации, аналогичный использовавшемуся в языке.
Появление счёта и измерения позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы
Кипу, использовались инками для записи чисел

Возникновение математики
1. Возникновение понятий
Геометрическая фигура
Число
Появление счёта и измерения позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы
Системы счета и принцип наименования чисел
Двоичная система
Названия чисел от 2 (zwei, two, duo, deux, dvi, два…) до 10 в индоевропейских языках сходны
О чем это свидетельствует?
Cчёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходят
Понятие абстрактного числа появилось ещё до разделения этих языков
При образовании числительных у большинства народов какое число занимает особое положение?
О чем это свидетельствует?
Пятеричная система
Десятеричная система
Двадцатичная система
Из 307 систем счисления первобытных американских народов
106 – пятеричные
146 десятеричные
55 - двадцатичные

Возникновение математики
1. Возникновение понятий
Геометрическая фигура
Число
Появление счёта и измерения позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы
Системы счета и принцип наименования чисел
Двоичная система
Названия чисел от 2 (zwei, two, duo, deux, dvi, два…) до 10 в индоевропейских языках сходны
О чем это свидетельствует?
Cчёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходят
Понятие абстрактного числа появилось ещё до разделения этих языков
При образовании числительных у большинства народов какое число занимает особое положение?
О чем это свидетельствует?
Пятеричная система
Десятеричная система
Двадцатичная система
Что использовали при счете французы, если 80 = quatre-vingt, а 90 = quatre-vingt-dix?
Шестидесятиричная

Возникновение математики
1. Возникновение понятий
Геометрическая фигура
Число
Когда понятие абстрактного числа окончательно утвердилось, следующей ступенью стали
операции с числами
объединение нескольких множеств в одно
2. Возникновение арифметических операций

Возникновение математики
1. Возникновение понятий
Геометрическая фигура
Число
отделение части множества
сложение
2. Возникновение арифметических операций
объединение нескольких множеств в одно

Возникновение математики
1. Возникновение понятий
Геометрическая фигура
Число
отделение части множества
сложение
2. Возникновение арифметических операций
объединение нескольких множеств в одно
вычитание
«пакетное» сложение множеств
умножение
разделение на части

Возникновение математики
1. Возникновение понятий
Геометрическая фигура
Число
отделение части множества
сложение
2. Возникновение арифметических операций
объединение нескольких множеств в одно
вычитание
«пакетное» сложение множеств
умножение
разделение на части
деление

Возникновение математики
1. Возникновение понятий
Геометрическая фигура
Число
сложение
2. Возникновение арифметических операций
вычитание
умножение
деление
Делить на 10 частей сложно
У римлян стандартной дробью была унция (1/12)
Средневековые денежные и мерные системы несут на себе отпечаток древних недесятичных систем:
1 английский пенс = 1/12 шиллинга,
1 дюйм = 1/12 фута,
1 фут = 1/3 ярда

Возникновение математики
1. Возникновение понятий
Геометрическая фигура
Число
сложение
2. Возникновение арифметических операций
вычитание
умножение
деление
идеализация конечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.) -
Дробные числа
…-1/2,…-1/3, …1/3, …1/2….
Натуральные числа
1,2,3….
Отрицательные и ноль …-3,-2,-2,0
Целые числа
Рациональные числа
Действительные числа
Комплексные числа — Гиперкомплексные числа — Кватернионы — Октонионы — Седенионы — Гиперреальные числа — Сюрреальные числа — p-адические числа — Математические постоянные — Названия чисел — Бесконечность — Базы
3. Возникновение уравнений
Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на алгебраический.
Исаак Ньютон

Возникновение математики
1. Возникновение понятий
Геометрическая фигура
Число
Системы счета и принцип наименования чисел
Двоичная
Десятеричная
Пятеричная
Двадцатичная
Шестидесятиричная
сложение
2. Возникновение арифметических операций
вычитание
умножение
деление
Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объемов простых фигур и тел привело к созданию уравнений ученых
Шумера
сер. IV тыс до н.э. -12.10.539 г. до н.э. («падение Вавилона»).
Египта
сер. IV тыс. до н. э. - IV в. н. э.
Возраст ~5 тыс. лет, письменные источники покрывают период ~3500 лет.
Китая
3. Возникновение уравнений

Фрагмент папируса Райнда.
Царь разделил землю между египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же от какого-нибудь надела река отнимала что-нибудь, то владелец, приходя к царю, сообщал о происшедшем. Царь же посылал людей, которые должны были осмотреть участок земли и измерить, на сколько он стал меньше, чтобы владелец вносил с оставшейся площади налог, пропорциональный установленному. Мне кажется, что так и была изобретена геометрия, которая затем из Египта была перенесена в Элладу.
Геродот (V в. до н. э.)
Древний Египет
Папирус Райнда (33 см на 5,25 м), назван по имени первого владельца, содержит 84 задачи. Часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, часть - в Нью-Йорке. Папирус переписал писец Ахмес ~1650 г. до н. э. автор оригинала неизвестен, текст создавался во второй половине XIX в. до н. э.
Служил учебником: есть задачи на вычисление – образцы выполнения арифметических операций, задачи на раздел имущества, на нахождение объема амбар или корзины, площади поля и т. д.
10
100
1000
10 000
100 000
1 000 000

В папирусах встречаются задачи на
арифметическую и геометрическую прогрессии.
нахождение точно площади поля прямоугольной, треугольной и трапециевидной формы
В сер. I тыс. до н. э. для построения прямого угла египтяне использовали верёвку, разделённую узлами на 12 равных частей. Концы веревки связывали и натягивали ее на 3 колышка. Если стороны относились как 3 : 4 : 5, то получался прямоугольный треугольник – единственный прямоугольный треугольник, который знали в Древнем Египте.
Очень хорошее приближение числа π, которое получается из формулы для площади круга диаметра d
В 50-й задаче папируса Райнда π ≈ 3,1605.
вычислять поверхность корзины с отверстием при решении которой используется число π (в Московском папирусе).
нахождение объемов куба, параллелепипеда, призмы и цилиндра
нахождение объема усеченной пирамиды, в основаниях которой лежат квадраты со сторонами a и b, а высота равна h.
В древнем Востоке при вычислениях использовали π = 3. Даже в Библии есть указание на него. В этом отношении египтяне опередили другие народы.

Имеется 100 мер зерна. Необходимо поделить их между 5 работниками таким образом, что:
Второй работник получит настолько больше зерна, чем первый, насколько третий работник больше, чем второй, настолько же, насколько четвертый больше чем третий и настолько же, насколько пятый больше, чем четвертый. Если первый и второй работник получат в 7 раз меньше зерна, чем в сумме остальные, сколько достанется каждому?
Первая известная задача на прогрессию
х мер зерна получит работник 1
х+у мер зерна получит работник 2
х+2у мер зерна получит работник 3
х+3у мер зерна получит работник 4
х+4у мер зерна получит работник 5
х+(х+у)+(х+2у)+(х+3у)+(х+4у)=100
7(х+(х+у))=(х+2у)+(х+3у)+(х+4у)
5х+10у=100
14х+7у=3х+9у
х+2у=20
11х=2у
х+11х=20
3х=5
х=5/3
y=11*(5/3)/2=55/6
1 и 2/3 мер зерна получит работник 1
5/3+55/6 = 65/6 = 10 и 5/6 мер зерна получит работник 2
65/6+55/6 =120/6 = 20 мер зерна получит работник 3
20+55/6=29 и 1/6 мер зерна получит работник 4
29+1/6+55/6 = 38 и 1/3 мер зерна получит работник 2

Диофант Александрийский – «отец алгебры», живший предположительно в III в. н. э. В его книге «Арифметика» впервые встречается уравнения, решения которых нужно найти на множестве целых чисел. Такие уравнения получили название «диофантовых уравнений». «Арифметика» состояла из 13 книг, сохранились только 6 первых. Большая часть труда –сборник задач с решениями (сохранились 189 задач). Ввел буквенную символику в алгебру.
Эпитафия на его могильном камне
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком.
И половину шестой встретил с пушком на щёках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Пример диофантова уравнения: в клетке сидят кролики и фазаны и вместе у них 18 ног. Сколько в клетке тех и других?
Пусть х- число кроликов
у – число фазанов
4х+2у=18
Уравнение в натуральных числах
Метод перебора: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1)
Пусть х – длительность жизни Диофанта
1/6x
1/12x
1/7x
5
1/2x
4
1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4=x
(14x+7x+12x+42x)/84+9=x
75x+9*84=84x
9*84=9x
х=84
цель изучения диофантовых уравнения – дать основы теории целых чисел, которая дальше развивается как в математике, так и в информатике и программировании

Два человека и получили неизвестное количество монет. Их надо определить из условия: если добавить первому половину монет второго, или добавить второму 2/3 монет первого, то в обоих случаях получится 48 монет
Древний Китай
Китайцам было известно : вся базовая арифметика (включая нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного), действия с дробями, пропорции, отрицательные числа, площади и объёмы основных фигур и тел, теорема Пифагора и алгоритм подбора пифагоровых троек, решение квадратных уравнений.
Метод ″фан-чэн″ близок к методу определителей (метод Гаусса), идею которого в Европе впервые высказал Лейбниц и которую развил Крамер (1750).
Пример из ″Математики в девяти книгах″ ( Цзю чжан суань шу, между ΙΙΙ в. до н.э. и Ι в. н.э.).
Пусть х монет получил первый человек
Пусть у монет получил второй человек
х
+1/2 y
=48
y
+2/3 x
=48
x
1
2/3
y
1/2
1
48
48
1 96
2 3 144
1 96
0 -2 -48
1 96
0 1 24
0 72
0 1 24
X=36
Y=24
Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:
Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1=b2=…bm=0)
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает. Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения — недоопределённой.
Какая система описана в задаче?

Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений
Уравнения с двумя переменными вида: Ах+Ву+С=0 описывают на координатной плоскости Оху прямую
прямые параллельны, система не имеет решения (несов­местна)
x
у
0
Система двух уравнений такого вида означает, что ее решения как точ­ки на координатной плоскости должны принадлежать одновре­менно двум прямым, соответствующим уравнениям этой сис­темы
варианты:
обе прямые пересекаются, система имеет единственное решение
x
x
М(x,у)
у
у
прямые совпадают, т.е. ранг системы равен едини­це, и система имеет бесчисленное множество решений
x
x
у
у
0
0
0

12 8 0 145
0 8 0 34
0 0 4 11
Древний Китай
Метод ″фан-чэн″ близок к методу определителей (метод Гаусса), идею которого в Европе впервые высказал Лейбниц и которую развил Крамер (1750).
Пример из ″Математики в девяти книгах″ ( между ΙΙΙ в. до н.э. и Ι в. н.э.).
Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу (мера объема зерна). Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу (зерна). Из 1 снопа хорошего урожая , 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого урожая получили 26 доу (зерна). Спрашивается, сколько (зерна) получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая.
Хор
Ср
Пл
3
2
1
2
3
1
1
2
3
39
34
26
6 4 2 78
6 9 3 102
6 12 18 156
3 2 1 39
0 40 8 192
0 40 80 390
3 2 1 39
0 5 1 24
0 0 72 198
6 4 2 78
0 5 1 24
0 8 16 78
3 2 1 39
0 5 1 24
0 0 4 11
Пл=11/4=2¾
12 8 4 156
0 20 4 96
0 0 4 11
12 8 0 145
0 20 0 85
0 0 4 11
12 8 0 145
0 4 0 17
0 0 4 11
Cp=17/4=4¼
12 0 0 111
0 8 0 34
0 0 4 11
Хор=111/12=9¼

Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений
Уравнения с тремя переменными вида: Ах+Ву+Сz+D=0 описывают плоскость в трехмерном пространстве Охуz
x
у
0
варианты:
три плоскости пересекаются по одной прямой — система имеет бесчисленное множество решений (все точки на этой прямой)
М(x,у)
три плоскости пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение
Z
0
все три плоскости совпадают — все точки общей плоскости являются решениями, и ранг системы равен единице
две плоскости совпадают, а третья пересекает их — бес­численное множество решений (все точки прямой — на пересе­чении трех плоскостей)
хотя бы одна из плоскостей параллельна какой-либо из двух других — систе­ма несовместна
плоскости пересекаются попарно по парал­лельным прямым — система несовместна