Математика. Управление социальными системами. Математический анализ. Дифференцирование функции одной переменной

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Уравнение касательной

Производная и непрерывность функции

Односторонние производные

ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫX
Если и имеют производные в точке x, то этой точке справедливы равенства:
если
если

ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
в)Аналогично получим .
г) Тогда, так как , то применяя правила дифференцирования, получим
Аналогично получим

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Степенные функции:
Показательные функции:
Логарифмические функции:

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
5. Тригонометрические функции:
6. Обратные тригонометрические функции:

ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫX
6. Вычисление сложной функции (Правило цепочки).
Если функция имеет в некоторой точке x производную
, а функция имеет при соответствующем значении u
производную , тогда сложная функция
имеет в указанной точке x производную, вычисляемую по формуле:

Примеры вычисления производныx
1.
Примеры:

Примеры вычисления производныx
2.
Примеры:

Примеры вычисления производныx
3.
Примеры:

Примеры вычисления производныx
4.
Примеры:

Примеры вычисления производныx

Правило дифференцирования степенно-показательной функции
Пусть функция имеет степенно-показательный вид:
Прологарифмируем функцию:
Продифференцируем:
Откуда:

Правило дифференцирования степенно-показательной функции
Пример.
Прологарифмируем функцию:
Продифференцируем:
Откуда:

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Дифференцируемость функции

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Рассмотрим поведение обоих частей при
Видно, что при функция
убывает быстрее, чем , т.е.
Тем самым,
и

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Правило Лопиталя
Теорема Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) определены и имеют производные f '(x) и g '(x) ≠ 0 в некоторой окрестности точки a, кроме быть может самой точки a, и пусть
или
Тогда, если существует предел отношения производных этих функций, то существует предел отношения самих функций и

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Правило Лопиталя
Примеры.
1.
2. Правило Лопиталя может применяться несколько раз.

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Правило Лопиталя
Применение правила Лопиталя к неопределенности .
Применение правила Лопиталя к неопределенности .
Используем основное логарифмическое тождество

Основные теоремы дифференциального исчисления

Основные теоремы дифференциального исчисления