Вторая производная и ее физический смысл

Цели занятия:
1. Формирование знаний о производных второго порядка;
2. Формирование навыков применения второй производной к решению задач.

Повторение

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной и обозначается:

Физический смысл производной второго порядка.
Пусть тело движется по закону .
Как известно, скорость v движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е.

Если тело движется неравномерно, то скорость v с течением времени изменяется и является функцией от времени. И, следовательно, от нее также можно найти производную, т.е.
Эта величина называется ускорением в данный момент времени и обозначается буквой а.

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент времени равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.
В этом и заключается физический смысл второй производной.

3. Применение понятия производной функции при решении задач.
Тело движется прямолинейно по закону:
Найти скорость и ускорение тела в момент времени t = 4 c.

Решение.
Для определения скорости движения тела нужно найти первую производную от данной функции при t = 4 с.

Ускорение тела равно второй производной от функции при t = 4 c.
Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения t, следовательно движение тела по заданному закону происходит с постоянным ускорением.
Ответ: v = 21 м/с, а = 6 м/с .
2

1. . Найти вторую производную .
Решение.
Находим первую производную:
Находим вторую производную:

2. Найти
Решение.
Вычислим значение второй производной при
Подставим во вторую производную:

Тело движется прямолинейно по закону км. Определить скорость и ускорение движения тела через 6 часов после начала движения.
Решение.

Самостоятельная работа
Найти производные второго порядка от заданных функций:
2.
4.

5. Тело движется прямолинейно по закону . Определить скорость и ускорение в момент времени .