Метод Галеркина для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка

(1)
где u(t) искомая, а h(t)-заданная функции. Линейный оператор
K(t) и функции u(t), h(t) определены на конечном отрезке [0,T].
(2)

- Гильбертово пространство на [0,T]
и определим норму
(3)

(4)

(5)
(6)

(7)
(8)
Тогда при каждом n задача (5) и (6) имеет единственное решение
последовательности сходится в , причем предельный элемент является решением задачи (1),(2). Решение задачи (1), (2) единственно.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда верна оценка