Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке с помощью производной

a
b
a
b
Предположим, что функция f
не имеет на отрезке [а; b] критических точек.
Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке.
Значит,
наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.
Пусть функция у=f(х) непрерывна на промежутке [а; b] .
Если функция непрерывна на отрезке,то она достигает на нем и своего наибольшего и своего наименьшего значений..

a
b
a
b
Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
Предположим, что функция f
имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума.
Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение.
Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

Теорема Ферма
Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f' , то она равна нулю: f' (х0) = 0.
Среди критических точек есть точки экстремума
Необходимое условие экстремума
Но, если f' (х0) = 0, то необязательно, что точка х0 будет точкой экстремума. Примеры

Показать (6)
убывает
возрастает
экстремумы

Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
3) y(0) = 0
Алгоритм решения задач

Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
3)
Другой способ решения
min
Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.
Этот способ будет удобно
вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

Найдите наибольшее значение функции
2.
x = – 2
Найдем критические точки, которые принадлежат D(у).
Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции.
max
Наибольшее значение функция примет в точке максимума.

Найдите наибольшее значение функции
Решим задание без вычисления производной
Функция наименьшее значение будет иметь тогда , когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция -х2 - 4х + 5 будет иметь наименьшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен -1 меньше 0, значит, ветви параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.
Х=4/(-2)=-2
Наибольшее значение функция примет в точке максимума.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x2 - 3x + 5 + |1-x| на отрезке [0;4].
Решение: Раскроем модуль и преобразуем нашу функцию:
y= x2 - 3x + 5 + 1 - x, при x ≤ 1.
y= x2 - 3x + 5 - 1 + x, при x ≥ 1.
Тогда наша функция примет вид:
f(x)={ x2−4x+6,приx≤1
x2−2x+4,приx≥1
f(x)={ x2−4x+6,приx≤1
x2−2x+4,приx≥1
Найдем критические точки:
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции, для этого вычислим значения функции в стационарных точках и на концах отрезка:
Ответ: Функция достигает наименьшего значения в стационарной точке x= 1, yнаим.= 3. Функция достигает наибольшего значения на конце отрезка в точке
x= 4, yнаиб.= 12.

Найдите точку максимума функции
7.
max
+
–
–
+

-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 х
y = f /(x)
+ + +
- - -
Задание :
По графику производной функции
указать наибольшую точку максимума функции у = f(x).
У