Линейная алгебра

В настоящее время в условиях рыночных преобразований в экономике возрастает роль экономико-математических методов.
Математический инструментарий становится неотъемлемой частью экономической науки.
Автор данного курса лекций руководствовался принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности.

Раздел 1.
Линейная алгебра.
Линейна алгебра является необходимым инструментарием для компактного и эффективного описания и анализа экономико-математических моделей и методов.

Тема 1. Матрицы.
Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеет важное значение для экономистов, так как значительная часть математических моделей экономических объектов может быть записана в компактной матричной форме.
Матрицей размера или - матрицей называется прямоугольная таблица чисел.
Матрица содержит строк и столбцов.
Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами.

Матрица записывается следующим образом:
или где
- элемент матрицы.
Первый индекс - это номер строки, второй - индекс номер столбца, где расположен элемент.

Виды матриц.
1. Если в матрице число строк не равно числу столбцов, то матрица называется прямоугольной матрицей.
2. Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной матрицей.
3. Матрица строка
4.Матрица столбец

5. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей.
6. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.

7. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей и обозначается символом Е.

Операции над матрицами.
1. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица той же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц.

2. Произведением матрицы А и числа называется матрица той же размерности, все элементы которой умножаются на это число:

3. Произведением матрицы размерности и матрицы размерности называется матрица размером , элементы которой равны сумме произведений элементов - строки матрицы, стоящей на первом месте на соответствующие элементы столбца матрицы, стоящей на втором месте.

Произведение существует в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Размер матрицы произведения равен
Например, даны две матрицы
Произведение матрицы А на матрицу В неопределено, так как число столбцов первой матрицы не равно числу строк второй матрицы, однако, произведение матрицы В на матрицу А определено

Рассмотрим произведение двух матриц А и В
При умножении матриц коммутативный (переместительный) закон не выполняется

4. Возведение в степень.
Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение m равных матриц
Операция возведение в степень определена только для квадратных матриц.
Пример. Возвести матрицу А в вторую степень

5. Транспонирование матрицы.
Под этой операцией понимается переход от матрицы А к матрице АТ , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
Матрица АТ называется транспонированной относительно матрицы А:
Свойства операции транспонирования

Задачи с экономическим содержанием
Понятие матрицы часто используется в практической деятельности.
Например, данные о выпуске продукции нескольких видов, нормы затрат нескольких ресурсов на производство продукции нескольких типов, цены реализации единицы продукции, нормы затрат ресурсов на производство единиц продукции и т.д удобно записывать в виде матриц.

Задача.
Предприятие выпускает продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.
Обозначим
Считая известными нормы расхода каждого вида сырья на изготовление каждого вида продукции составим матрицу норм расхода сырья

Каждый элемент этой матрицы показывает, сколько единиц сырья каждого типа расходуется на производство единицы продукции.
План выпуска продукции, задан матрицей-строкой
Стоимость единицы каждого типа сырья задана матрицей- столбцом

Решение. 1 способ.
Вычисляют матрицу затрат сырья
2. Вычисляют общую стоимость сырья

2 способ.
1.Вычисляют матрицу стоимости затрат сырья на единицу продукции
2. Вычисляют общую стоимость сырья

Задача.
В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции.
Матрица - задает объемы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица - во втором; - объемы продукции j - го типа на i - м заводе в первом и втором кварталах соответственно:
В данном случае m=4 и n=3

Замечание. Число строк в матрице соответствует числу предприятий, а число столбцов – количеству видов выпускаемой продукции.
Найти:
объем продукции за полугодие, за год:
Прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам:

Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц
Отрицательные элементы матрицы показывают, что на данном заводе объем производства j-го продукта уменьшился; положительные - увеличился; нулевые - не изменился.

3. Стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если - курс доллара по отношению к рублю.
Задача.
Предприятие производит n типов продукции, объемы выпуска заданы матрицей . Цена реализации единицы –i-го типа продукции в j-м регионе задана матрицей , где k- число регионов, в которых реализуется продукции
Найти матрицу выручки C по регионам.

Выручка определяется матрицей
Пусть
Замечание. Число столбцов матрицы А и число строк матрицы В равно количеству видов выпускаемой продукции, число столбцов матрицы В равно числу регионов, где реализуется продукция.

Задача.
Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i- го вида на производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей затрат A. Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило определенное количество продукции каждого типа, записанное матрицей X .
Определить S - матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени.

Матрица полных затрат ресурсов S определяется как произведение матриц A и X , т.е.
Если известна стоимость каждого вида ресурса в расчете на единицу продукции, то можно определить полную стоимость всех затраченных ресурсов по формуле