Неопределенный интеграл

11.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ
ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка

Например, функция
является первообразной для функции
поскольку
Для заданной функции f(x) ее первообразная определена не однозначно.
Например, функции
тоже являются первообразными для функции х3.

В общем случае, если F(x) – первообразная для функции f(x), то функция вида F(x)+С тоже является первообразной для f(x), поскольку

Из геометрического смысла производной вытекает, что
есть угловой коэффициент касательной к кривой y=F(x) в точке х.
Найти первообразную для функции f(x), значит найти такую кривую y=F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x).

ТЕОРЕМА.
Если F1(x) и F2(x) - первообразные функции f(x) на некотором промежутке Х, то найдется такое число С, что будет справедливо равенство:

Доказательство:
Найдем производную разности первообразных:
Тогда по следствию из теоремы Лагранжа найдется число С, такое что

Из этой теоремы следует, что если F(x) – первообразная для функции f(x), то выражение
задает все возможные первообразные для функции f(x).

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x).
Функция f(x) называется
подынтегральной функцией.
Выражение f(x)dx называется
подынтегральным выражением.