Об эквивалентности 2-мерных топологических квантовых теорий поля и абелевых Фробениусовых алгебр

КАТЕГОРИЯ
ФУНКТОР
Естественное преобразование
морфизмы
важнее
объектов
1
Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane, General theory of natural equivalences, Trans. Amer. Math. Soc. 58 (1945), 231–294
1
Инструментарий

Пример коммутативной диаграммы
Базовые понятия теории категорий

Категория HTop
Пример
Базовые понятия теории категорий

Базовые понятия теории категорий

M → Z(M)
Замкнутое ориентированное
(n-1)-многообразие
Векторное пространство над полем F
Ориентированный кобордизм
Линейное отображение между векторными пространствами
n-мерная топологическая квантовая теория поля Z
Функтор
Моноидальность функтора
2 Witten, E., Comm. Math. Phys. 121 (1989), 351-399.
3 Atiyah, M., Inst. Hautes ' Etudes Sci. Publ. Math. 68 (1988), 175-186.
2,3

′B
M0
M1
Категория nCob
′B
B
M1
M0
d

Категория (2Cob) порождается посредством следующих кобордизмов:
Категория 2Cob
«рождение окружности»
2→1
кобордизм
тождественный
кобордизм
(цилиндр)
твистовый
кобордизм
1→2
кобордизм
«уничтожение окружности»
Gen (2Cob) =
Identity-соотношения

Категория 2Cob
Вырезы в дисках
Коммутативность
Кокоммутативность
Соотношения Фробениуса
Ассоциативность
Коассоциативность

F-алгебра A – F-векторное пространство, наделенное F-линейными отображениями
Фробениусовы алгебры
умножением
µ: A ⊗ A → A
единичным отображением
η: F→ A
Фробениусова алгебра A – конечномерная F-алгебра, наделенная невырожденным ассоциативным фробениусовым спариванием β: A⊗A→F
F-коалгебра A – это F-векторное пространство, наделенное F-линейными отображениями
коумножением
δ: A→ A ⊗ A
коединицей
ϵ: A→ F

Графическое исчисление
= id(A)
единица
форма Фробениуса
умножение
коумножение
Фробениусово спаривание
Фробениусово коспаривание
= β
= γ
Ассоциативность умножения
Единица умножения
idA
μ
μ
μ
μ
idA
η
idA
μ
μ
η
idA
idA

Твистовое отображение
Для любой пары векторных пространств V и W можно определить отображение канонического твиста
A⊗A
A⊗A⊗A
A⊗A⊗A
A⊗A⊗A
• Если на векторных пространствах задано отображение умножения
и V=W=A
A⊗A
A⊗A
A⊗A ⊗A
• Коммутативная алгебра
• Кокоммутативная коалгебра

Моноидальные категории
• ассоциативность
• нейтрального объекта
C
Φ

Симметричные моноидальные категории
:
:
диаграмма
коммутативна
справедливо

Примеры моноидальных категорий
Нестрогой
Строгой
Моноидальные структуры

Топологическая квантовая теория поля (ТКТП)
Соотношения категории 2Cob переходят в аксиомы коммутативной Фробениусовой алгебры
Имеет место каноническая эквивалентность категорий 2TQFT и категории всех коммутативных Фробениусовых алгебр над F