Общие приемы решения уравнений

Евтушенко Ирина Ивановна
Доклад на РМО математиков
2009 год
Г. Дальнегорск
Приморский край

Равенство вида f(x)=g(x), уравнение с одним неизвестным.

Число a называется корнем уравнения если обе части уравнения определены при x=a равенство f(a)=g(a) является верным.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простым. Нельзя выполнять преобразования, которые приводят к потере корня.

Определение. Уравнения f(x) = g(x) и p(x) = h(x) называются равносильными, если совпадают множества их корней.

Теоремы о равносильности уравнений
Теорема 1. Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую со знаком минус, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Уравнение af(x) = ag(x) (a > 0, a 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(x) умножить на выражение h(x), которое имеет смысл всюду в ОДЗ уравнения f(x) = g(x) и нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части уравнения неотрицательны в области определения уравнения, то при возведении обеих частей уравнения в четную степень получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 6. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то уравнение logaf(x) = logag(x) (a > 0, a1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Общие приемы решения уравнений

Метод разложения на множители
Этот метод заключается в том, что уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0.
Решив уравнения совокупности нужно взять только те решения, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные корни отбросить.

Метод замены переменной
Этот метод заключается в том, что если уравнение f(x) = 0 сводится к уравнению h(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x),затем решить уравнение h(u) = 0, а в конце решить совокупность уравнений g(x) = u1; g(x) = u2; …; g(x) = un, где u1, …,un — корни уравнения h(u) = 0.

Использование свойств функций
Пусть у нас имеется уравнение f(x) = g(x).
Если одна из функций возрастает, а другая убывает, то исходное уравнение либо не имеет корней, либо имеет единственный корень, который иногда легко угадывается
Использование графиков
Суть метода использования графиков для решения уравнения f(x) = g(x) проста: нужно построить графики функций y = f(x) и y = g(x) и найти все точки их пересечения, абсциссы которых и будут являться корнями нашего исходного уравнения.

Показательные уравнение
Основным методом решения показательных уравнений является сведение уравнения с помощью различных преобразований правой и левой частей к простейшему показательному уравнению — к уравнению вида ax = b.
Это уравнение решается по стандартной схеме в зависимости от знака правой части, а именно:
1) Если b, то уравнение не имеет решений в силу того, что показательная функция y = ax принимает только неотрицательные значения.
2) Если b > 0, то уравнение имеет единственное решение — x = logab.

Уравнение с иррациональностью
Основным методом решения уравнения с иррациональностью является приведение уравнения с помощью различных преобразований правой и левой частей уравнения к простейшему иррациональному уравнению , то есть к уравнению вида
f(x)=g(x).
Это уравнение эквивалентно системе вида
g(x)≥0,
f(x)≥ g(x)2

По результатам ЕГЭ 2008 года выявились недочеты при выполнении работы.

Оказалось что выпускники, получившие оценку «3»:
не научились решать иррациональные и тригонометрические уравнения

Проиллюстрируем конкретными примерами, какие недочеты выявились у «хорошистов» при выполнении заданий повышенного уровня сложности. Они успешно справляются с решением уравнений (показательных, логарифмических и иррациональных) методом замены (см. примеры 1-2).
Решите уравнение
+ 7

Более низкие результаты показаны этими учащимися при выполнении «похожего» уравнения (см. пример 3).

Это наблюдение подтверждается и при анализе результатов выполнения заданий повышенного уровня с развернутым ответом (С1-С2).
Как и в 2007 году, выпускники 2008 года, показавшие отличный уровень подготовки, справляются со всеми заданиями базового уровня сложности, а также со всеми заданиями повышенного уровня сложности. Из них от 80% до 97% выполняют верно задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и от 78% до 92% – правильно решают задания повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Выборочная перепроверка работ выявила ошибки и недочеты, которые допускают выпускники, приступающие к выполнению этих заданий. В 2008 г. были включены задания, где нужно было найти наибольшее (наименьшее) значение функции и текстовая задача, для решения которой нужно было составить модель-уравнение