Золотое сечение. 9 класс

СОДЕЖАНИЕ
2

ВВЕДЕНИЕ
«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.»
Иоганн Кеплер
3

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА
Познание математических закономерностей в мире, определение значения математики в мировой культуре и дополнение системы знаний представлениями о «Золотом сечении» как гармонии окружающего мира.
ЗАДАЧИ ПРОЕКТА
Подобрать литературу по теме «Золотое сечение»
Провести исследования по выбранным направлениям
4

ИСТОРИЯ «ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ»
В Древнем Египте существовала «система правил гармонии», основанная на Золотом Сечении.
В Древней Греции Золотое Сечение было своеобразным каноном культуры, который пронизывает все сферы науки и искусства. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания.
В толковании древних греков понятие золотого сечения, и понятие гармонии идентичны.
Согласно Пифагору гармония имеет численное выражение, то есть, она связана с концепцией числа.
Евклид излагает теорию Платоновых тел, которая является существенным разделом геометрической теории Золотого Сечения.
Теория гармонии Древних
5

Понятие «Золотое сечение»
Золотое сечение - деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.
a : b = b : c или с : b = b : а
6

Эта пропорция равна:
Золотое сечение в процентах
7

Число j является положительным корнем квадратного уравнения:
x2 = x + 1
подставим корень j вместо x и разделим на j :
Если продолжить такую подстановку бесконечное число раз, то получим цепную дробь:
Аналогично, если взять корень квадратный из правой и левой частей тождества (1) то получим представление золотой пропорции в «радикалах»
(2)
(3)
(1)
(4)
Эти формулы (3) и (4) доставляют «эстетическое наслаждение» и вызывают неосознанное чувство ритма и гармонии…
«Золотое сечение» - гармония математики
8

Два главных Платоновых тела, додекаэдр и икосаэдр, основаны на Золотом Сечении.
Икосаэдр и додекаэдр
9

Ряд Фибоначчи
С историей золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи.
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи.
Каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.
10

«Золотая Пропорция» - главный эстетический принцип эпохи Средневековья
Эпоха Возрождения ассоциируется с именами таких «титанов», как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэль, Николай Коперник, Альберт Дюрер, Лука Пачоли.
Имеется много авторитетных свидетельств о том, что именно Леонардо да Винчи(1452-1519) был одним из первых, кто ввел сам термин «Золотое Сечение».
«Витрувийский человек» - размах вытянутых в сторону рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг.
Рисунок и текст иногда называют каноническими пропорциями.
11

Вклад Кеплера
в теорию Золотого Сечения
Гениальный астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) был последовательным приверженцем Золотого Сечения, Платоновых тел и Пифагорейской доктрины о числовой гармонии Мироздания.
Считается, что именно Кеплер обратил внимание на ботаническую закономерность филлотаксиса и установил связь между числами Фибоначчи и золотой пропорцией, доказав, что последовательность отношений соседних чисел Фибоначчи:
1/1; 2/1; 3/2; 5/3 ;8/5; 13/8;…в пределе стремится к золотой пропорции
12

Дано: отрезок АВ.
Построить: золотое сечение отрезка АВ, т.е. точку Е так, чтобы
Построение.
Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок ВС= ½ AB.
Далее, соединим точки А и С, отложим отрезок CD=CB,
и наконец AE=AD.
Точка Е является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.
Деление отрезка в золотом отношении
Золотое сечение в геометрии
13

Золотое сечение лист розы
Величины отростков и лепестков цикория подчинены правилу золотой пропорции.
14

Золотая пропорция в теле ящерицы – длина хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38
Золотые пропорции в яйце птицы
15

У многих бабочек узоры на крыльях, соотношение размеров грудной и брюшной части тела соответствуют золотой пропорции
16

А
В
С
Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:
Золотой треугольник
17

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение длины к ширине даёт число φ, называется золотым прямоугольником.
Золотой прямоугольник
18

Пентаграмма
Точки пересечения диагоналей в пентаграмме являются точками золотого сечения диагоналей.
19

Последовательно отрезая от золотого прямоугольника квадраты и вписывая в каждый по четверти окружности, получаем золотую логарифмическую спираль.
Золотая спираль
20

Золотое сечение в природе
Гете называл спираль "кривой жизни". Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно.
21

22

Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.
23

Рога и бивни животных развиваются в форме спирали.
Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.
24

Математическая эстетика
Цейзинга
В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что пропорции золотого сечения проявляются в отношении частей тела человека – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения.
25

26

Результаты измерений учащихся
Вывод: пропорции тела мальчиков ближе к показателю золотого сечения, чем у девочек, что подтверждает теорию Цейзинга.
27

Математические закономерности
русских мер
28

Золотое сечение в живописи и фотографии
На живописном полотне существуют четыре точки повышенного внимания.
Зрительные центры расположены на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев любой картины и фотографии.
29

Золотое сечение в скульптуре
Венера Милосская
Дорифор Поликлета
30

Золотое сечение в картине
Леонардо да Винчи "Джоконда"
Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).
31

Васильев «У окна»
«Суд Париса» камея
Иванов «Явление Христа народу»
«Поющий Один» 8 век
32

Золотое сечение
в архитектуре
Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
Пирамида Хеопса
33

Золотые пропорции Парфенона
34

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании Собора Парижской Богоматери
Нотр - Дам де Пари
35

Золотое сечение
в архитектуре России
Собор Христа Спасителя
36

Собор на Нерли
Смольный собор
Собор Вознесения Господня
Проект Смольного собора
Собор Василия Блаженного
Храм Святителя Димитрия
37

Угловая Арсенальная башня
Ещё в 6 классе, решая одну из задач, я рассмотрела фотографию Угловой Арсенальной башни. При общей высоте башни АС=13см длины отрезков АВ и ВС равны 5см и 8 см соответственно. Проверила отношения: АВ/ВС=5/8=0,6…
ВС/АС=8/13=0,6…
Вывод: при строительстве данной башни правило «золотого сечения» соблюдалось
А
В
С
38

Тайницкая башня
В этой же задаче, рассмотрев Тайницкую башню, пришла к выводу,
что ВС/АВ=5/8=0,6…, а так же FD/DE=5/8=0,6….
Таким образом, в данной башне присутствуют элементы, размеры которых находятся в отношении «золотого сечения».
А
В
С
E
D
F
39

ВЫВОД
Не одно столетие ученые применяют уникальные математические свойства золотого сечения. Универсальность его проявления в строении органов, систем, их функциональных параметрах позволяет предполагать, что оно играет роль кирпичика в фундаменте всего живого на Земле.
Последние исследования в области астрономии, физики показывают, что это сечение имеет отношение ко всему Мирозданию.
40

ЛИТЕРАТУРА:
Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая пропорция. Симметрия вокруг нас. 8-9 классы: элективные курсы/авт.-сост. Л.С. Сагателова, В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2007. – 158 с.
Математика: наглядная геометрия: учебник для учащихся 6 кл. общеобразовательных учреждений/ Т.Г.Ходот, А.Ю.Ходот. – М.: Просвещение, 2007. – 143 с.
Интернет-ресурсы:
http://gs.edunet.uz/viskust.htm http://photoportal.kiev.ua/?lang_id=1&menu_id=1
http://www.dc-market.ru/about.htm http://inoyrazum.narod.ru/pyramid.html
http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/ http://www.abc-people.com/data/leonardov/pic_z-8.jpg
http://al-signa.narod.ru/lib/red/152.files/image014.gif
http://goldsech.narod.ru/
http://www.photoline.ru/tcomp1.htm
http://rustimes.com/blog/page_all_102.html
http://www.harunyahya.ru/article_zolotoe_sechenir.php
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454898.html
41