лекция 2

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
План
Матричная запись системы линейных уравнений.
Решение системы линейных уравнений матричным методом.
Правило Крамера. Система двух уравнений с двумя неизвестными.
Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными.
Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.
Теорема Кронекера-Капелли.
Метод Гаусса.

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
П.1 Матричная запись системы линейных уравнений
Пусть имеем систему линейных уравнений:
(1)
Рассмотрим три матрицы:
Применяя правило умножения матриц система (1) может быть записана в матричной форме:

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
Применяя правило умножения матриц система (1) может быть записана в матричной форме:
Или кратко:
A*X=B. (2)
Пример: Записать в матричной форме систему уравнений
Решение:
Данная система линейных уравнений в матричной форме запишется так:

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
П.2 Решение системы линейных уравнений матричным методом
Умножим левую и правую части равенства (2) слева на матрицу А-1, получим
А-1 · A · X = А-1 · B.
Но
А-1 · А = Е, Е · Х = Х.
Поэтому первоначальное равенство можем записать в виде:
X = А-1 · B.
Или в развернутом виде:

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
Приравнивая члены матриц, стоящих слева и справа, получаем:
Пример: Решить систему уравнений
матричным методом.
Решение. 1) Найдем
2) Найдем обратную матрицу

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
3) Матрица В:
Решение в матричной форме запишется так:
= =
4) Таким образом приравнивая строки матриц, стоящих слева и справа, получаем:

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
П.3 Правило Крамера. Решение систем линейных уравнений
Рассмотрим систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными x и y:
Решим эту систему. Для этого почленно умножим первое уравнение на а22, второе на (- а12) и сложим полученные уравнения:
(a11 а22 – а21 а12)x = с1а22 – с2а12. (*)
Аналогично, почленно умножая первое уравнение на (-а21), второе на а11 и складывая, получим
(а11а22 – а21а12)y = с2а11 – с1а21. (**)
Но на основании формулы вычисления определителя 2 порядка можно написать

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
Сокращенно эти определители обозначаются так:
Определитель Δ, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, называется определителем системы. Определитель Δx (или Δ y) получается из определителя системы Δ, если в нем коэффициенты а11 и а21 (или а12 и а22 ) при неизвестном x (или y) заменить свободными членами с1 и с2.
.
Принимая это во внимание уравнения (*) и (**) можно записать в виде:
Δ•x = Δx , Δ•y = Δy.
Если , то отсюда получаем, что исходная система имеет единственное решение:
данные формулы называются формулами Крамера.
Замечание. Если определитель равен нулю, то система или не имеет решений (т.е. несовместна) или имеет бесконечно много решений (т.е. система неопределена).

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
Замечание. Если определитель системы Δ = а11 а22 – а21 а12 = 0, т. е. а11 а22 = а21 а12. В этом случае коэффициенты при неизвестных одного уравнения пропорциональны коэффициентам при неизвестных другого уравнения.
Здесь возможны два подслучая.
1) Оба определителя Δ x и Δ y равны нулю.
Δx=с1а22–с2 а12=0,
Δy=с2а11–с1а21=0
В таком случае исходная система имеет бесчисленное множество решений.
2) Хотя бы один из определителей Δ x и Δ y ≠ 0. Тогда система не имеет решения.
Пример 1. Решить систему
Решение.
т. к. определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение:
x = Δx/Δ =41/22
y = Δy /Δ =24/22=12/11.
Геометрически это означает, что прямые, заданные уравнениями 2x+3y=7 и 4x–5y=2, пересекаются в точке (41/22, 12/11).

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
П.4 Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
Однородная система Двух уравнений с тремя неизвестными имеет вид
Все решения данной системы определяются по формулам:
(*)
Пример. Решить систему
Применяя формулы (*), получим:
Итак все решения системы задаются уравнениями x=-28k, y=32k, z=-8k.
Придавая k конкретные числовые значения, получим различные решения системы.
Так например, при k = 1 имеем: x = -28, y = 32, z = -8 и т. д.

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
П.5 Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
а11x + а12y + а13z = с1,
а21x + а22 y + a23z = с2,
a31x + a32y + a33z = c3
Предполагая, что определитель системы не равен нулю и
с1 а12 а13 а11 с1 а13 а11 а12 с1
Δ x = с2 а22 а23 , Δ y = а21 с2 а23 , Δ z = а21 а22 с2
с3 а32 а33 а31 с3 а33 а31 а32 с3
находим
x =Δx /Δ , y=Δy /Δ , z=Δz/Δ (**)
Аналогичные формулы имеют место для систем уравнений первой степени с большим числом неизвестных.

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
Пример. Решить систему x + 2y – z = 2,
2x – 3y + 2z = 2,
3x + y + z = 8
Решение.
1 2 -1 2 2 -1 1 2 -1 1 2 2
Δ = 2 -3 2 = -8, Δ x = 2 -3 2 , Δ y = 2 2 2 = -16, Δ z = 2 -3 2 = -24
3 1 1 8 1 1 3 8 1 3 1 8
по формулам (**) находим
x = -8 /-8 = 1, y = -16 /-8 = 2, z = -24 /-8 = 3.

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
П.6 Теорема Кронекера-Капелли
Рассмотрим вопрос об исследовании системы линейных уравнений общего вида:
где число уравнений m может и не равняться числу неизвестных n. Системы могут быть совместимыми, определенными, неопределенными и несовместимыми.
Составим матрицу из коэффициентов или матрицу системы и матрицу полученную путем присоединения к А столбца свободных членов, расширенную.

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
Теорема Кронекера – Капелли. Система линейных уравнений совместна, тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы В, причем в случае совместности система является определенной, когда ранг матрицы А равен числу неизвестных.
Пример.
Решение. Ранг матрицы равен 2, отсюда следует, что система совместна, но неопределенна. Последнее уравнение можно отбросить.
Замечание. Система имеет решения, если ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы В. Система не имеет решений, если ранг матрицы А меньше ранга В. Если ранг матрицы А и ранг В равен 3, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы А и В равен 2, то система имеет бесчисленное множество решений, при этом два неизвестных выражаются через третье, которое имеет произвольное значение. Если ранг матриц А и В равен 1, то система имеет бесчисленное множество решений, при этом два неизвестных имеют произвольные значения, а третье выражается через них.

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
П. 6 Метод Гаусса
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:
(1)
У коэффициента первый индекс обозначает номер уравнения, а второй – номер неизвестного.
Пусть для определенности не равен нулю «ведущий коэффициент». Разделив все члены первого уравнения на , будем иметь приведенное уравнение
(2)
где
(3)
Рассмотрим i-е уравнение системы (1):
(4)

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
Для исключения из этого уравнения умножим приведенное уравнение (2) на и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда получим:
(5)
где (6)
Таким образом получаем укороченную систему
(7)
коэффициенты которой определяются по формулам (6).
Если ее ведущий коэффициента , то из системы (7) можно исключить неизвестное , причем новые коэффициенты будут вычисляться по формулам типа (6) и т.д. Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.
Для определения неизвестных рассмотрим приведенные уравнения

Лекция 3. Решение систем линейных уравнений
(8)
Отсюда последовательно находим неизвестные (обратный ход)
Операции (9) выполняются без деления.
Если очередной ведущий коэффициент окажется равным нулю, то уравнения системы следует переставить надлежащим образом. Возможно, что система (1) несовместна, тогда метод Гаусса не допускает реализации.

Вопросы для контроля
1. Матричная запись системы линейных уравнений.
2. Решение системы линейных уравнений матричным методом.
3. Правило Крамера.
4. Теорема Кронекера-Капелли.
5. Метод Гаусса.
Лекция 3. Решение систем линейных уравнений

Литература
1. Привалов И.И. Аналитическая геометрия, М: Гос. изд-во Юрайт, 2017.
2. Егоров В.В., Мустафина Л.М., Абаева Н.Ф., Головачёва В.Н. Математика. Часть I (для студентов горного профиля), изд-во КарГТУ, 2015.
3. Мустафина Л.М. Высшая математика для студентов технических специальностей. Часть 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Изд-во КарГТУ, Караганда, 2016.
4. Мустафина Л.М. Высшая математика для студентов технических специальностей. Часть 2: Введение в математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Изд-во КарГТУ, Караганда, 2017.
5. Мустафина Л.М., Абаева Н.Ф. Высшая математика для студентов технических специальностей. Часть 3: Функции многих переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения. Изд-во КарГТУ, Караганда, 2017.
6. Мустафина Л.М., Абаева Н.Ф. Высшая математика для студентов технических специальностей. Часть 4: Ряды. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Изд-во КарГТУ, Караганда, 2018.
Лекция 1. Матрицы