Определитель матрицы

Определителем первого порядка матрицы
называется число
То есть:

Определителем второго порядка называется число, которое определяется по правилу:

Определителем третьего порядка называется число, которое определяется по правилу:

Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников:

Пример.
Вычислить определители матриц:

Решение:

Минором некоторого элемента
определителя называется определитель,
полученный из исходного
вычеркиванием строки и столбца,
на пересечении которых стоит
данный элемент.
Минор элемента определителя
обозначается как

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)S , где S – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

В частности, минор элемента
определителя третьего порядка найдется по правилу:
Его алгебраическое дополнение:

Свойства определителей
1
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Например:

2
Перестановка двух строк или столбцов определителя эквивалентна умножению его на (-1).

Например:
Меняем местами первую и вторую строки:

3
Если определитель имеет две
одинаковые строки или столбца,
то он равен нулю.

Например:

4
Общий множитель строки или
столбца можно выносить за знак
определителя.

Например:
Выносим из второй строки множитель 2:

5
Определитель не изменится, если
к элементам одной строки или столбца
прибавить соответственные элементы
другой строки или столбца,
умноженные на одно и то же число.

Например:
Первую строку умножаем на 2 и складываем со второй:

6
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения:

Пример.
Вычислить определитель:

Раскладываем определитель по третьей строке:
Решение:
=
Находим алгебраические дополнения: