Дифференциальные уравнения. Лекция 3

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах - это уравнения вида,
в котором функции И
удовлетворяют определенному условию.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Приведем условие, по которому можно судить, что выражение
есть полный дифференциал некоторой функции.
Теорема
Для того, чтобы выражение
3
где функции P(x; y), Q(x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости XOY, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнения условия:
(2)

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Таким образом, для решения уравнения (1) необходимо найти функцию u(x,y) по ее полному дифференциалу.
Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требованиям:
Если в первом уравнении зафиксировать y и проинтегрировать его по x, получим:
4
(3)
Здесь произвольная постоянная С = φ(y) зависит от y или является постоянной. Для ее нахождения продифференцируем функцию u(x, y) по y.
(4)

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
В этом равенстве правая часть зависит только от y, если выполняются условия (2). Находим φ(y):
5
Подставляя найденную функцию в равенство (4), найдем функцию u(x; y).

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
6
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Проверим выполнение условий (3):
Уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Условия (4) здесь будут выглядеть так:

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
7
Продифференцируем полученную функцию по y:
Подставим найденную функцию φ(y) в выражение для u(x; y)
Общим интегралом является:

Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия
Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка
8

Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков.
Символически ДУ высших порядков можно записать:
Общее решение ДУ n – ого порядка является функцией вида:
Начальные условия для ДУ n – ого порядка задаются в виде:
Решение, получающееся из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением:
или
если его можно разрешить относительно старшей производной.
9

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка.
Рассмотрим 3 вида уравнений, допускающих понижение порядка.
Общее решение данного уравнения находится с помощью последовательного интегрирования :
10
В результате получается ДУ на порядок ниже. Проинтегрировав уравнение n раз, получим искомую функцию.
(1)

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
11
Найти общее решение ДУ:

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- уравнение второго порядка, не содержащее явно искомой функции y,
12
Сделаем замену переменной:
(2)
тогда
и получим уравнение первого порядка:
Пусть:
- решение данного уравнения.
Заменим функцию p на
Это уравнение вида (1), поэтому:
В общем случае, порядок уравнения:
можно понизить на k единиц с помощью подстановки:

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
13
Найти частное решение ДУ:
Сделаем замену:
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Найдем С1 с помощью начального условия:
Найдем С2 с помощью начального условия:

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
не содержащее явно независимой переменой x.
14
Сделаем замену переменной:
(3)
тогда
Теперь уравнение (3) запишется в виде:
Пусть:
- решение данного ДУ
- уравнение второго порядка,

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
15
Найти частное решение ДУ:
Сделаем замену:
Так как
(по начальному условию), получим:
- линейное уравнение 1 порядка.