Пересечение поверхностей

В общем случае линия пересечения двух поверхностей представляет собой пространственную кривую. Линию пересечения поверхностей обычно строят по ее отдельным точкам, принадлежащих одновременно заданным поверхностям.
Форма линий пересечения зависит от формы и взаимного расположения поверхностей.
Прежде чем приступить к построению линии пересечения поверхностей, необходимо внимательно изучить условие,
т.е. выяснить какие поверхности пересекаются.

При решении задачи следует отметить в первую очередь характерные точки.
Это: 1. Точки на крайних образующих;
2. Точки, делящие линию на видимую и невиди-мую часть;
3. Верхние и нижние точки и др.
Они позволяют определить границы линии пересечения, между которыми и следует определять промежуточные точки. Для нахождения промежуточных точек вводятся вспомогательные секущие посредники. Количество промежуточных точек должно быть достаточным для определения линии пересечения поверхностей. Построенные точки соединяют плавной кривой линией с учетом их видимости.

Чаще всего в качестве поверхностей-посредников при-меняют плоскости или сферы. Исходя из этого различают следующие методы построения точек линии пересечения двух поверхностей:
— метод секущих плоскостей;
— метод секущих сфер.
Применение того или иного метода зависит от типа данных поверхностей и их взаимного расположения.

Построение линии пересечения двух поверхностей геометрических тел способом секущих плоскостей.
При использовании метода секущих плоскостей вспомогательные плоскости выбираются таким образом, чтобы при их пересечении с заданными поверхностями получались простые сечения: прямые для линейных поверхностей или окружности для поверхностей вращения. Как правило, в качестве секущих плоскостей берутся либо плоскости уровня, либо проецирующие плоскости.

Метод секущих плоскостей
Пересечение поверхностей в общем случае – это вторая главная позиционная задача.

Метод секущих плоскостей применяется, если оси пересекающихся поверхностей расположены параллельно.
Алгоритм решения:
1. Вводим вспомогательную секущую плоскость γ (желательно проецирующую плоскость или плоскость уровня).
2. Определяем линии пересечения вспомогательной плоскости с каждой из поверхностей
α∩γ=m
β∩γ=n.
3. Находим точки, в которых пересекаются полученные линии
m ∩ n = A, B.
4. Определяем видимость линий пересечения и видимость поверхностей.

Конус пересекается со сферой.
Оси поверхностей расположены
параллельно.

Пространственная модель
пересекающихся поверхностей.

Находим точки пересечения
очерков поверхностей – 1, 5.

Находим горизонтальные
проекции данных точек.

Проводим вспомогательную
cекущую плоскость αv1.
αv1 рассекает конус по
окружности радиуса R1,
а сферу – тоже по окружности,
но радиуса R2.

Строим полученные сечения.

Находим точки пересечения
сечений – 4, и проецируем их
на главный вид.

Повторяем аналогичные построения
для αv2. Получаем точку 3.

И для αv3.

Получаем точку 2.

Соединяем полученные точки
плавной кривой с учетом
их видимости.

Если одна из поверхностей является проецирующей, то решение задачи упрощается, т.к. на одной из проекций линия пересечения совпадает с проекцией поверхности. И задача сводится к нахождению 2-й проекции линии.

Пирамида пересекается с призмой.
Причем призма является в данном
случае проецирующей поверхностью.
Следовательно на фронтальной
проекции линия пересечения
поверхностей уже есть – 1-2-3-4.
Задача сводится к нахождению
горизонтальной проекции
линии пересечения.