Площадь треугольника и биссектриса

Замечательные точки и линии треугольника

Элементы треугольника
Медиана треугольника –
Биссектриса треугольника –
Высота треугольника –
отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис. 1).
отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны (рис. 2).
отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны или ее продолжения и перпендикулярный этой стороне (рис. 3).

Значит, SAВС:SAKС:SKBС=AB:AK:KB
Пропорциональность площадей
Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания, к которым проведены эти высоты.

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
Следствие 1

А
B
C
D
О
Рассмотреть на уроке
Следствие 1.

В
Следствие 2
Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.
Следствие 2.

Доказать на уроке
Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого равна площади исходного треугольника.
Следствие 3.

Площадь треугольника
a
b
α

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади данных треугольников относятся как произведения сторон, заключающих данные углы.
Теорема

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Следствие

Биссектриса внешнего угла треугольника делит продолжение стороны треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Следствие

Задача №4
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к боковой стороне, делит ее в отношении 5:8. Найдите длину основания данного треугольника, если радиус его вписанной окружности равен 2.
С
А
В
М
Н
О

Задача №5
О
В параллелограмме АВСD АВ=4см, ВС=6см, ∠А=30°. Биссектриса угла В пересекает диагональ АС в точке К. Найдите площадь треугольника АВК.
К

Решение. SABCD = AB·AD·sin30º=24·½=12. По свойству биссектрисы, АК:КС=АВ:ВС => АК:КС=
=2:3 => SABK= SABC = · SABCD = · 6 = 2,4.
О
К

Теорема Фалеса
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

ГИА 2013
А
В
С
К
М
Р
F