Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярные прямые
в пространстве
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) , если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых a и b обозначается так: a ⊥ b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рисунке 1 перпендикулярные прямые a и b пересекаются, а перпендикулярные прямые a и c скрещивающиеся.
a
b
c
90°
Рис. 1

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой , то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Докажем лемму о перпендикулярности двух
параллельных прямых к третьей прямой
Лемма:
Доказательство:
Пусть a || b и a ⊥ b. Докажем, что b ⊥ c. Через произвольную т. М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым a и c. Так как a ⊥ c, то AMC = 90°.
По условию b || а, а по построению а || МА, поэтому b || МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b ⊥ c.
Рис. 2
b
a
C
A
M
c

Параллельные прямые,
перпендикулярные к плоскости
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается так: а ⊥ α.
Если прямая а перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость α, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости α имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости.
Значит, прямая а пересекает плоскость α.

На рисунке 3 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости α.
Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д.
α
a
Рис. 3

Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Рассмотрим две параллельные прямые а и b и плоскость α, такую, что а⊥α. Докажем, что и b ⊥ α.
Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α (рисунок 4). Так как а ⊥ α, то а ⊥ х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей b ⊥ х. Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. b ⊥ α.
Доказательство:
Рис. 4
α
a
b
x