Последние цифры степеней

Последние цифры степеней
Найти последнюю цифру суммы
Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Последние цифры степеней
Цель работы: построить алгоритм нахождения последней цифры числа.
Задачи:
изучить литературу по данной теме;
построить таблицу последних цифр различных степеней;
выявить закономерность изменения последней цифры степени натурального числа;
применить данные закономерности при решении задач.
Метод исследования: аналитический, системно-поисковый, практический.

Последние цифры степеней

Последние цифры степеней
Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные - цифрой 6.

Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4
если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6.
если остаток равен 1, то последняя цифра будет равна последней цифре основания степени
если остаток равен 2, то последняя цифра будет равна квадрату последней цифре в записи основания степени
если остаток равен 3, то последняя цифра будет равна кубу последней цифре в записи основания степени.

Какой цифрой оканчивается число ?
11:4=2 (остаток 3).
Следовательно, последняя цифра первого слагаемого - 1.
12:4=3 (остаток 0).
Следовательно, последняя цифра второго слагаемого - 6.
13:4=3 (остаток 1).
Следовательно, последняя цифра третьего слагаемого - 3.
Получаем, 1+6+3=10. Итак, последняя цифра числа – 0.

Доказать, что число
не делится нацело на 15.
2016:4=504 (остаток 0).
Тогда, первое слагаемое оканчивается цифрой 1, второе слагаемое оканчивается цифрой 6, третье слагаемое оканчивается цифрой 5.
Получаем 1+6+5=12.
Следовательно, число оканчивается цифрой 2.

Найдите последнюю цифру суммы
1989:4=499 (остаток 3).
Тогда слагаемые оканчиваются цифрами 1,8,7,4,5,6,3,2,9.
Получаем: 1+8+7+4+5+6+3+2+9=45. Следовательно, сумма оканчивается оканчивается цифрой 5

Последние цифры степеней
Результат моего исследования: выявлены закономерности изменения последней цифры степени натурального числа.

Последние цифры степеней
Литература
Н.Х. Агаханов, Л.П.Купцов и др. Математические олимпиады школьников. – М.: Просвещение, 1997
Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ - М.: Просвещение, 2013
Р.И.Довбыш, Л.Л.Потемкина Математические олимпиады: 906 самых интересных задач – Ростов н/Д: Феникс: издательский центр «Кредо», 2006
http//portfolio.1september.ru
http://mat.1september.ru/view_article.phpID=201000202