Первообразная

Определение производной функции?
Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента , стремиться к нулю.

Устная работа
1
сosх
sinх+12

Устная работа

Используя определение производной функции, решают ряд задач в алгебре, физике, химии.
Рассмотрим физический смысл производной.
материальная
точка
s(t) закон
движения

Задача: Точка движется прямолинейно по закону
s(t) = t3+ 2t ( где s(t) – измеряется в м).
Найдите скорость точки в момент времени t=2с.
Решение:
v(t) =
v(2) =
3t2 + 2
Ответ: 14 м/с.

Что мы сделали за часть урока?
Повторили определение производной функции и формулы дифференцирования.
Решили задачу на применение производной:
зная закон движения, нашли скорость при
заданном времени.
В математике часто приходиться решать
обратную задачу:
зная скорость найти закон движения.

Задача:
По прямой движется материальная точка, скорость которой в момент времени t задается формулой v(t) = 3t2. Найдите закон движения.
Решение:
Пусть s(t) – закон движения
надо найти функцию, производная которой равна 3t2 .
Эта задача решена верно, но не полно.
Эта задача имеет бесконечное множество решений.
3t2
3t2
3t2
3t2
можно сделать вывод, что любая функция вида s(t)=t3+C является решением данной задачи, где C любое число.

При решении задачи, мы, зная производную функции, восстановили ее первичный образ.
Эта операция восстановления - операция
интегрирования.
Востановленная функция – первообразная
( первичный образ функции)
Операция
дифферен-цирования
функция y = F(х) (первообразная)
Операция
интегри-
рования
y = f(х)
производная

y = F(x) называют первообразной для y = f(x) на промежутке X, если при x ∈ X
F'(x) = f(x)
Определение первообразной

Операция
дифферен-цирования
функция y = F(х) (первообразная)
y = f(х)
производная
Операция
интегри-
рования
В математике много операций которые
являются обратными
32 = 9
?
?
Сегодня мы познакомились с новой операцией
интегрирование
дифференцирование
?

Запомните:
Первообразная – это родитель
производной:

Задача:
Найдите все первообразные
для функций:
f(х)=3
f(х)= х2
f(х)=cosx
f(х)=12
f(х)=х5

Три правила нахождения первообразных
Если функции у=f(x) и у=g(x) имеют на промежутке
первообразные соответственно у=F(x) и у=G(x), то

Найти первообразные для функции
Решение:
Используя правила нахождения первообразных и таблицу получим