Сочетания и размещения. 11 класс

Сочетания и размещения.
При подсчете вероятности события, иногда бывает довольно таки сложно подсчитать общее количество исходов. На данном уроке мы как раз и займемся способами подсчета количества исходов.
На прошлом уроке мы уже повторили правило умножения. В курсе алгебры девятого класса мы уже изучали некоторые понятия, давайте повторим некоторые из них.
Определение. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! (n факториал)
n!=1·2·…·(n-1)·n
n факториал – состоящий из n множителей.
Заметим важное свойство факториала:
n!= (n-1)!·n

Сочетания и размещения.
Количество перестановок из n элементов, можно вычислять используя следующую теорему:
Теорема. N отличных друг от друга предметов можно расставить по одному на N разных мест ровно N! способами.
Где P – количество перестановок из N элементов, без повторений.

Сочетания и размещения.
Пример. К Иван Васильевичу пришли гости: Александр, Алексей, Петр и Николай. За столом 5 стульев.
а) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом?
б) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если место Ивана Васильевича известно.
в) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если Петр и Николай всегда сидят рядом.
г) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если Алексей и Александр не могут сидеть рядом.
Решение.
а) Способы которыми можно рассадить гостей и хозяина, не что иное как количество перестановок наших гостей возле разных стульев. Воспользуемся теоремой: Всего у нас 5 человек тогда, 5! способов расстановки. Ответ: 120 способов.
б) Место Иван Васильевича уже известно, тогда гости могут выбрать 4 оставшихся стула, а это 4!=24 способа выбора. Ответ: 24.
в) Петр и Николай сидят рядом, тогда первый из них может выбрать 5 способами себе место, а вот второму останется выбор только из двух мест, рядом с первым. Остается 3 места для 3 человек: 3!=6 способов. Тогда всего способов: 5·2·6=60. Ответ: 60.
г) Алексей может выбрать место 5 способами, но вот Александру остается для выбора всего два места, так рядом с Алексеем он сидеть не может. Тогда способов: 5·2·3!=60. Ответ: 60.

Сочетания и размещения.
Пример. В чемпионате по хоккею участвовало восемь команд, каждая команда сыграла с другой по одной игре. Сколько всего сыграно игр?
Решение.
Данную задачу можно решать различными способами. Начнем с самого очевидного, но не всегда самого простого, составим таблицу сыгранных игр и непосредственно подсчитаем количество игр.
Команда сама с собой играть не может (закрашенные клетки), тогда у нас остается 64-8=56 клеток. Игр у нас произошло ровно в два раза меньше, так внизу таблицы могут быть записаны те же результаты, только в обратном порядке, в зависимости от победы или поражения. Тогда у нас 28 игр.

Сочетания и размещения.
Второй способ: Пронумеровав или зная названия команд можно подсчитать, что первая команда сыграет 7 игр, второй команде уже останется сыграть 6 игр, так как уже сыграла игру с первой командой и так далее, получим:
7+6+5+4+3+2+1=28
Посмотрим внимательно на нашу задачу, у нас есть 8 команд, в каждой игре участвуют 2 команды, тогда нам надо найти количество сочетаний или количество игр 8 команд, в каждой игре по 2 команды. Порядок выбора команд совершенно не важен.

Сочетания и размещения.
Количество сочетаний из n элементов по 2 легко вычисляется по формуле:
Теорема. Для множества, состоящего из n элементов, любые два элемента этого множества (без повторения) могут быть выбраны – способами.
Иначе говоря, число сочетаний 2 объектов множества, без учета порядка, состоящего из n элементов вычисляется:

Сочетания и размещения.
Пример. Ребята 11 А и 11 Б решили поиграть в шахматы. В 11 А учатся 10 человек, а в 11 Б 8 человек. Сколькими способами:
а) Могут сыграть ребята 11 А между собой
б) Могут сыграть ребята 11 Б между собой
в) Сколько игр возможно между ребятами 11 А и 11 Б
г) Сколько всего игр возможно?
Решение.
а) В 11 А у нас учатся 10 человек, в шахматы играют два человека. Тогда нам надо найти количество сочетаний из 10 человек по 2, порядок нам в данной задаче не важен. Тогда воспользуемся теоремой:
б) По аналогии с предыдущим примером:
в) Когда играют друг против друга ребята из разных классов, то тут следует считать по правилу умножения. Выбор ученика одного из классов не зависит от выбора ученика другого класса, тогда у нас для 11 А – 10 способов выбора, а для 11 Б – 8 способов. Тогда количество возможных игр: 10·8=80
г) Здесь нам не важен ни порядок, ни кто с кем играем, тогда это количество сочетаний из учеников обоих классов по 2:

Сочетания и размещения.
Часто встречаются задачи, в которых порядок размещения элементов важен, тогда нам следует воспользоваться следующей теоремой:
Теорема. Если множество состоит из n элементов, и требуется выбрать два элемента, с учетом их порядка, то такой выбор можно провести n(n-1) способами.
Определение. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначается

Сочетания и размещения.
Пример. В классе 20 учеников. К доске нужно вызвать двух человек, сколькими способами можно это сделать если:
а) Сначала надо решить пример на квадратные уравнения, потом неравенство
б) Ученики могут выйти к доске одновременно.
Решение.
а) В этой задаче порядок важен, тогда
б) Нам порядок не важен, тогда используем формулу числа сочетаний:

Сочетания и размещения.
Мы рассмотрели случай когда в выборе участвовало 2 элемента, а как же быть в случае когда их гораздо больше, ведь таких задач гораздо больше. Давайте запишем формулы для общего случая:
Число сочетаний из n элементов по k элементам (без учета порядка) вычисляется по формуле:
Число размещений из n элементов по k элементам (с учетом порядка) вычисляется по формуле:
Заметим:

Сочетания и размещения.
Пример. В классе 25 учеников, нужно выбрать 4 ученика таким образом:
а) Один должен подготовить доклад, второй решить геометрическую задачу, третий подготовить презентацию, четвертый выучить стих.
б) 4 ученика должны подготовить выступление на школьном празднике.
Решение.
а) Здесь нам порядок важен, тогда
б) тут нам порядок не важен

Сочетания и размещения.
В конце урока запишем ряд важных свойств:
1) 0!=1
2)
3)
4)
Давайте проверим 4 свойство: