Пирамида. Решение задач

№ 302
Дано:
ABCDS- пирамида
О – точка пересечения диагоналей
АB = 3 см
АD = 7 см
AC = 6 см
SO = 4 см
Найдите: SA, SB, SC, SD
А
С
D
B
S
O

Решение:
1. SABCD пирамида, АВCD -параллелограмм
2.По свойству параллелограмма найдем:
BO = OD и AO = OC
BO ⊥ пл.ABC, SO = 4 см
∆ OSB = ∆OSD ( по двум катетам), тогда SB = SD;
∆ AOS = ∆ COS ( по двум катетам), тогда SB = SC;
Пусть AO = OC = ½ AC = 3 см, BO = OD = x
Из ∆ ACD по теореме косинусов имеем:
AD2 = AC2 + CD2 -2 AC *CD *cosA
72 = 62 + 32 – 2 *6 * 3 * cosA ,
49 = 36+9-36 * cosA,
36cosA = -4;
cosA= -4/36 = -1/9
Из ∆ COD по теореме косинусов имеем:
X2 = 9+9+2*9*1/9 = 18+2=20, x =2√5 (см)
Из прямоугольного ∆ SOB по теореме Пифагора имеем:
SD = √SO2 + OD2 = √42 +20 = √36 = 6 (cм)
Из прямоугольного ∆ SOC по теореме Пифагора имеем:
SC = √SO2 + OC2 = √42 + 32 = √25 = 5 cм, SC =SA =5 см
Ответ: 5см 5 см 6 см 6см

№ 310
Дано:
DABC – пирамида,
DA ⊥ ABC,
AB =AC=25см,
BC = 40см,
DA = 8см.
Найти Sбок
D
А
В
С
М

Решение:
1. DABC пирамида, DA⊥(ABC)
2.Sбок =SABD +SADC +SBDC;
Sбок =SADC = DH*AC /2 = 8*25/2=100см2)
Из ∆ABD по т. Пифагора имеем:
BD=√AB2+DA2 = √252+82 = √689 см.
Из ∆ BDM по т. Пифагора имеем:
AB2+DA2 = √252+82 = √689 см
DM2 = BD2 –BM2 = 689 – 400 = 289,
DM = 17
SBDC = (DM*BM)* ½*2 = 17*20=340 см2
Sбок = 100+100+340 = 540см2
Ответ: 540 см2

№ 311
D
А
В
С
К
Дано:
DABC - пирамида,
ADC – основание,
AC=13см,
AB=15 см,
CB=14 см,
AD ⊥ ABC,
AD=9 см.
Найти
а)Sп.п.
б)AН
Н

Решение:
1. DABC пирамида, DA⊥(ABC)
2. ∆ DAB и ∆ DAC прямоугольные
SBDA = ½DA * BA = ½ * 9 * 15 (см2), SCDA= ½ DA * CA = ½ * 9 * 13 (см2).
По формуле Герона имеем:
SABC = √p(p-a) (p-b) (p-c) , где a = 14, b = 15, c = 13, а p = (AB + AC +CB) /2 = (13 + 14 + 15) /2= 21 см
3. Построим АК ⊥ ВС и отрезок DK. По теореме о 3-х перпендикулярах имеем DK⊥ BC.
Проведем в плоскости ADK отрезок AH⊥ DK
AH ⊥ DK – по построению, и AH ⊥ BC, т.к AH принадлежит пл.ADK то пл.ADK ⊥ BC.
AH перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BCD, а значит AH ⊥ пл.BCD.