Понятие функции, предел

Понятие функции
Определение.
Если для каждого значения переменной x, принадлежащей числовому множеству D по некоторому правилу ( по формуле) задается единственное значение y из числового множества М, то говорят, что задана функция
Y=f(x)
f – обозначение функции (правила, формулы)
D - область определения функции, х – аргумент
М - область значений функции, y – значение функции
Способы задания функции.
1. Аналитический (формула).
2.Табличный.
3.Графический.
Аналитический
Табличный

Графический способ задания функции
Определение.
Графиком функции называется множество точек P(x,Y) на плоскости XOY, абсциссами которых являются значения аргумента х, а ординатами – соответствующие значения функции Y=f(x)
Примеры. 1. Линейная функция
2. Квадратичная функция
3. Числовая последовательность
- как функция целочисленного аргумента
Y=f(x)
0
X
Y
x
Y
P(x,f(x))
0
х
y
Y=kx+b
0
x
y
0
1
2
1
3
D
M

Предел переменной величины
1. Последовательность
Пример.

Определение.
Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного существует такое целое положительное , зависящее от , что при всех целых значениях больших, чем , выполняется неравенство
Логические символы
Любой, для любого,
Для всех
Существует, найдется
Следует,
(логическое следствие)
Равносильно, эквивалентно
(логическая равносильность)
По определению (если)

Предел функции.
Пример.
х
y
0
1
2
1
2
3
4
-1
-окрестность
-окрестность
Для произвольной -окрестности
точки 4 оси OY существует -окрестность
точки 2 на оси OX такая, что при всех
значениях х из -окрестности значения
будут принадлежать -окрестности

Число b называется пределом функции f(x) при , если
для любой -окрестности точки b
существует такая -окрестность точки a,
что для всех х из -окрестности
значения будут принадлежать -окрестности.
Предел функции.
Определение.
Число b называется пределом функции f(x) при , если для любого положительного существует такое положительное , зависящее от , что для всех х таких, что выполняется неравенство
х
y
0
a
b
-окрестность
-окрестность
х
f(x)
y=f(x)
y=f(x)

Частный случай предела.
Определение.
Функция f(x) называется бесконечно малой при , если
Функция f(x) называется бесконечно малой
при , если
Геометрическая интерпретация.
0
х
y
a
-окрестность
-окрестность
Предел функции.
y=f(x)

Предел функции
Предел функции при
Определение.
Предел функции при
Число b называется пределом функции f(x) при , если для любого положительного существует такое положительное М , зависящее от , что для всех х таких, что , выполняется неравенство
Д,з. Дайте определение
и геометрическую интерпретацию
предела при
0
х
y
y=f(x)
м
-окрестность
b
Геометрическая интерпретация.

Предел функции
Односторонние пределы.
1. Правосторонний предел в точке.
Определение.
Число b называется правосторонним пределом функции f(x) в точке a, если для любого положительного существует такое положительное , зависящее от , что для всех х таких, что , выполняется неравенство
2. Левосторонний предел в точке.
Определение.
Число b называется левосторонним пределом функции f(x) в точке a, если для любого положительного существует такое положительное , зависящее от , что для всех х таких, что , выполняется неравенство
0
х
y
a
b
y=f(x)
0
y
х
b
a
y=f(x)