Слайд 2Вводные определения
При изучении дискретных случайных процессов с непрерывным временем в экономической практике
![Вводные определения При изучении дискретных случайных процессов с непрерывным временем в экономической](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-1.jpg)
полезным оказывается рассмотрение так называемых "потоков событий".
Опр.1 Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в какие-то, в общем случае, случайные моменты времени.
Опр.2 События в потоке называются однородными, если они различаются только по моментам их наступления, и неоднородными - в противном случае; другими словами, если различаемость событий в потоке помимо момента их наступления осуществляется ещё по каким-нибудь свойствам, то такие события являются неоднородными.
Слайд 3Далее будем рассматривать потоки однородных событий. Такие потоки удобно изображать на оси
![Далее будем рассматривать потоки однородных событий. Такие потоки удобно изображать на оси](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-2.jpg)
времени 0t последовательностью точек t1, t2, t3,..., соответствующих моментам наступления событий.
рис.1
Опр.з Поток событий называется регулярным, если события в нём наступают последовательно через строго определённые промежутки времени.
Слайд 4Опр.4 Поток событий называется потоком без после действия (или потоком без памяти),
![Опр.4 Поток событий называется потоком без после действия (или потоком без памяти),](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-3.jpg)
если для любой пары непересекающихся промежутков времени число событий, наступающих за один из них, не зависит от числа событий, наступающих за другой.
рис. 2
На рис.2 τ1 и τ2 - длины временных непересекающихся промежутков. Отсутствие последействия показывает, что последовательные события в таком потоке наступает независимо друг от друга.
Регулярный поток свойством отсутствия последействия не обладает, поскольку после действия в нём порождается его регулярностью.
Слайд 5Опр.5 Поток событий называется ординарным, если вероятностью наступления за элементарный (малый) промежуток
![Опр.5 Поток событий называется ординарным, если вероятностью наступления за элементарный (малый) промежуток](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-4.jpg)
времени более одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток не более одного события.
Ординарность потока означает, что события в нём за достаточно малый промежуток времени либо не наступают, либо наступают по одному, а не по несколько.
Опр.6 Поток событий называется стационарным, если вероятность того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала.
Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени.
Опр.7 Поток событий, обладающий свойствами отсутствия последействия и ординарности, называется пуассоновским.
Слайд 6Опр.8 Стационарный пуассоновский поток называется простейшим.
Простейший поток является самым простым с
![Опр.8 Стационарный пуассоновский поток называется простейшим. Простейший поток является самым простым с](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-5.jpg)
точки зрения его математического описания. Регулярный поток с кажущимся простым физическим описанием простейшим не является, так как обладает последействием.
Опр.9 Среднее число событий потока наступающих за единицу времени, называется интенсивностью или средней плотностью потока.
Интенсивность потока П будем обозначать inП.
Интенсивность простейшего потока (в силу его стационарности) не меняется с течением времени:
inП = λ = const.
Интенсивность нестационарного пуассоновского потока зависит от времени t: inП = λ (t).
Слайд 7Опр.10 Несколько потоков называются сравнимыми по интенсивности, если интенсивность любого из них
![Опр.10 Несколько потоков называются сравнимыми по интенсивности, если интенсивность любого из них](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-6.jpg)
не превосходит суммы интенсивностей остальных.
Полезная роль простейшего потока состоит в том, что суммарный поток, образуемый взаимным наложением достаточно большого числа сравнимых по интенсивности потоков, каждый из которых обладает свойством стационарности, ординарности и последействием, можно приближенно считать простейшем, и тем точнее, чем больше число слагаемых потоков.
Слайд 8Простейший поток
Рассмотрим простейший (т.е. стационарный пуассоновский) поток с интенсивностью λ = const.
![Простейший поток Рассмотрим простейший (т.е. стационарный пуассоновский) поток с интенсивностью λ =](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-7.jpg)
Одной из важных характеристик потока является дискретная случайная величина Х(τ) представляющая собой число событий, наступающих за промежуток времени τ. Т.о. случайная величина Х(τ) может принимать значение m=1,2,… Пусть -вероятность того, что за промежуток времени τ в потоке наступят точно m событий.
Слайд 9Теорема 1. В простейшем потоке с интенсивностью λ случайное число событий Х(τ),
![Теорема 1. В простейшем потоке с интенсивностью λ случайное число событий Х(τ),](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-8.jpg)
наступающих за промежуток времени τ, распределено по закону Пуассона.
Его математическое ожидание (т.е. среднее число событий, наступающих в потоке за промежуток времени τ) пппа= М[Х(τ)] и дисперсия D[Х(τ)] равны λτ:
а среднее квадратическое отклонение:
Слайд 10Следствие 1. Для простейшего потока с интенсивностью λ имеют место следующие утверждения:
![Следствие 1. Для простейшего потока с интенсивностью λ имеют место следующие утверждения:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-9.jpg)
Вероятность того, что за промежуток времени τ не наступит ни одного события (Х(τ)=0, т.е. участок τ окажется свободным)
Р(Х(τ) = 0) = ддддддддд
Вероятность того, что за промежуток времени τ не наступит менее k (k=1,2,з,…) событий (Х(τ) Р(Х(τ) Вероятность того, что за промежуток времени τ наступит не менее k (k=1,2,з,…) событий (Х(τ)≥k)
Р(Х(τ)≥k) = жжжжжжжжжжжж
Вероятность того, что за интервал времени наступит хотя бы одно событие, (Х(τ)≥1) т.е. временной участок τ окажется занятым
Р(Х(τ)≥1) = жжжжжжжжжжжжжжжжжжж
Интенсивность потока λ равна математическому ожиданию М[X(1)] случайной величины Х(1).
Слайд 11Опр.11 Элементом вероятности появления события в простейшем потоке называется вероятность (∆t) появления
![Опр.11 Элементом вероятности появления события в простейшем потоке называется вероятность (∆t) появления](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-10.jpg)
события за элементарный (достаточно малый) промежуток времени ∆t.
Утв.1 Для элемента вероятности появления события справедлива следующая приближенная формула:
(∆t) ≈ t, (∆t)
Для лучшей обозримости полученные формулы, характеризующие случайную величину Х(τ), сведем в таблицу.
Слайд 13Теорема 2. В простейшем потоке с интенсивностью λ для случайной величины Т:
интегральная
![Теорема 2. В простейшем потоке с интенсивностью λ для случайной величины Т:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-12.jpg)
функция распределения F(t) = P(Tдифференциальная функция распределения (или плотность распределения)
f(t) = F′(t) = λ , (t≥0);
математическое ожидание (средний интервал времени между двумя соседними событиями)
= M[T] = ;
дисперсия
D[T] = ;
среднее квадратическое отклонение
Ϭ[T] = .
Слайд 14Следствие 2. Вероятность Р(Т≥t) того, что промежуток времени Т между двумя любыми
![Следствие 2. Вероятность Р(Т≥t) того, что промежуток времени Т между двумя любыми](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-13.jpg)
соседними событиями в простейшем потоке будет не меньше t:
P(T ≥ t) = , (t≥0).
Опр.12 Закон распределение с плотностью, задаваемой формулой (10) , называется показательным (экспоненциальным), а величина λ называется параметром этого закона.
Слайд 15Рассмотрим графики интегральной и дифференциальной функции распределения случайной величины Т.
На рис.1
![Рассмотрим графики интегральной и дифференциальной функции распределения случайной величины Т. На рис.1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-14.jpg)
величина вероятности того, что значение промежутка времени Т между двумя соседними событиями в потоке окажется в интервале (0,а) равна у. На рис.2 величина вероятности того, что значение промежутка времени Т между двумя соседними событиями в потоке окажется в интервале (а,b), равна площади криволинейной трапеции аАВb.
Слайд 16Замечание. Пусть v - случайные величина, представляющая собой промежуток времени от некоторого
![Замечание. Пусть v - случайные величина, представляющая собой промежуток времени от некоторого](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-15.jpg)
произвольного момента времени t, никак не связанного с моментами появления событий в потоке, до момента первого наступившего после t события потока. Показательное распределение случайной величины Т эквивалентно совпадению законов распределения случайных величин Т и V.
Слайд 18Задача 1. Для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда компаний,
![Задача 1. Для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда компаний,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-17.jpg)
ведущей дела по страхованию автомобилей, важно обладать информацией о поступающих в компанию требований по выплатам в соответствии со страховыми полисами.
Наблюдение за работой компаний в предшествующий период показало, что число поступающих в компанию требований по выплатам за любой промежуток времени длиной τ не зависит от момента времени, с которого начинается отсчёт промежутка τ, а зависит только от его продолжительности, требования в компанию в любые два непересекающиеся интервала времени поступают независимо; в достаточно малые промежутки времени в компанию поступают по одному требованию. Ожидаемое число требований, поступаемых в компанию за неделю, ровно 2.
Слайд 19Какова вероятность того, что:
За месяц в компанию поступит 7 требований?
За месяц в
![Какова вероятность того, что: За месяц в компанию поступит 7 требований? За](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-18.jpg)
компанию поступит менее 7 требований?
За месяц в компанию поступит не менее 7 требований?
За неделю в компанию не поступит ни одного требования?
За две недели в компанию поступит хотя бы одно требование?
Интервал времени между двумя соседними требованиями будет меньше двух дней?
Интервал времени между двумя соседними требованиями будет не менее двух дней?
Слайд 20Решение.
П - поток требований по выплатам поступающим компанию.
По условию задачи, число
![Решение. П - поток требований по выплатам поступающим компанию. По условию задачи,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1137170/slide-19.jpg)
поступающих в компанию требований по выплатам за любой промежуток времени τ не зависит от начало и этого промежутка, а зависит лишь от его длины. Поэтому поток П будет стационарным.
Так как требования за любые два непересекающиеся интервалы времени поступают в компанию независимо, то поток П обладает свойством отсутствия последействия.
Так как в достаточно малые промежутки времени в компанию поступает по одному требованию, то поток П ординарен.
Т.о., поток П является стационарным пуассоновским простейшим потоком. За единицу времени примем 1 неделю.
По условию примера интенсивность потока П: λ = inП = 2 требованиям в неделю.
Пусть Х(τ) - число требований по выплатам, поступающих в компанию за промежуток τ (недель), и T - промежуток времени между любыми двумя соседними требованиями по выплатам.