Теория погрешностей

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Рейтинг

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Дополнительно:
Краевая задача 10
Контрольная работа №1 6
Контрольная работа №2 8
Контрольная работа №3 10
Критерии оценки:
5 > 93
4 > 85
3 <= 85

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Список литературы
1. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в
примерах и задачах [Электронный ресурс]: учеб. пособие. —
СПб,; М.; Краснодар: Лань, 2015. – 448 с. [Электр. ресурс]:
ЭБС ЛАНЬ. – URL: — Режим доступа:
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=65043 .
2. Вержбицкий В.М. Основы численных методов : Учебник
для вузов / В. М. Вержбицкий. - 2-е изд., перераб. - М. :
Высшая школа, 2005. - 847 с.

№1
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А

Специфика вычислительной математики
Вычислительная математика имеет дело не только с непрерывными, но и с дискретными объектами → погрешность метода;
Погрешность вычислений в связи с ошибками округления;
Имеет значение обусловленность задач, т.е. чувствительность решения к малым изменениям входных данных;
Выбор вычислительного алгоритма, вообще говоря, влияет на результат вычислений;
Важная черта численного метода – экономичность, т.е. требование минимизации числа операций.

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических, технических и иных проблем, можно разбить на ряд элементарных — таких, как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т.п.
Посмотрим, как решается любая реальная задача, например, нахождение светового потока конструируемой лампы. Одним из способов является эксперимент. Создадим лампу и измерим интересующую нас характеристику. Если характеристика оказалась неудачной, то изменим проект, сделаем новую лампу и т.д., пока не получим желаемые параметры. Ясно, что это слишком медленный и дорогой способ. Другой способ — вычислительный эксперимент.

Схема вычислительного эксперимента
№1
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1

Колебание математического маятника
№1
ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТИ
1. Погрешность математической модели.
Трение зависит от скорости не совсем
линейно.
2. Неточность задания исходных данных
(g, l, …).
3. Погрешность численного метода –
дифференциальное уравнение решаем,
используя численный метод.
4. Вычислительная погрешность, связан-
ная с конечной разрядной сеткой.
№1
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Иллюстрация понятия вычислительной погрешности
Вычисление синуса с помощью разложения в ряд Тейлора
Ряд сходится для любого значения x
Напишем программу для вычисления значения синуса при:
X1 = π / 6 ≈ 0.52366
X2 = 12π + π / 6 ≈ 38.22277

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
#define EPS 1.e-8
#define X 0.52366
...
int i, k = 0;
double curr_sum = 0.0, curr_sum_old = 0.0, fact;
do {
fact = 1.0;
for ( i = 1; i<= 2*k+1; i++ )
fact *= i;
curr_sum_old = curr_sum;
curr_sum += pow( -1, k) * pow( X, 2*k+1 ) / fact;
k++;
} while ( fabs( curr_sum - curr_sum_old ) > EPS );
Получаем результат:
Для X1 = 0.52366: 0.500053…
Для X2 = 38.22277: 1.165079…

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
| ak | ~ 1015
Δ| ak | ~ 0.1
Для | X | < 1: | ak |
монотонно убывают
Для | X | > 1: | ak | сначала возрастают, а затем убывают

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Иллюстрация влияния выбора метода вычисления
Вычисление
может быть представлено как сумма сходящегося
бесконечного ряда
. Применим ряд для
При расчете с 5 знаками последовательно получим следующие числа:
Мы ограничиваемся при суммировании 25 членами ряда, так как после-дующие слагаемые уже не меняют сумму. Удовлетворительный ли ответ
получен? Истинный результат
так что вычисление
привело к ответу, не имеющему верных цифр.
Проблема таится в пятизначной арифметике и, вследствие этого, ошибках округления. Но увеличение разрядности не сильно поможет,
да и обходится очень дорого. Лучше вычислить сумму для
и затем взять обратное число:

Классификация погрешности
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Абсолютные и относительные погрешности
Если
— точное значение некоторой величины, а
Если
— точное значение некоторой величины, а
Если
— известное приближение к нему, то абсолютной
погрешностью приближенного значения
называют
некоторую величину
про которую известно, что
Пример:

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Относительной погрешностью приближенного
значения
называют отношение его абсолютной
погрешности
к абсолютной величине числа
Пример:

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Абсолютная погрешность менее информативна, чем
относительная. Так, если точное значение некоторой
Величины равно 0.00006, а приближенное значение
равно 0.00005, то абсолютная ошибка составляет всего
10-5 , в то время как относительная ошибка составляет
0.2, или 20%. С другой стороны, если точное значение
равно 100500, а приближенное значение равно 100000,
то абсолютная ошибка составляет 500, хотя относи-
тельная ошибка составляет всего 0.005, или 0.5%.

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Значащими цифрами числа называются все цифры
в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Любое
число можно представить в виде:
где
— первая значащая цифра числа;
— основание системы счисления;
Пример:

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Значащая цифра
считается верной, если имеет место
неравенство:
в противном
случае
— сомнительная цифра.
В этом случае говорят, что число
имеет
верных
знаков в узком смысле.
Если
то число
имеет
верных знаков в широком
смысле.
Чаще всего

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Относительная погрешность числа, содержащего
верных знаков, определяется соотношением:
На практике обычно используется понятие числа
С верными знаками в узком смысле.
Тогда можно сказать, что абсолютная погрешность числа с верными знаками равна половине последнего разряда.

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Пример 1.
Приближенное число
получено с погрешностью
Определить число верных знаков в его
Согласно определению должно выполняться
неравенство
— степень первой
значащей цифры в записи числа, т.е.
тогда
цифры 0.39, а две следующие являются сомнительными.
т.е. число имеет две верные
записи.

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Пример 2.
Определить абсолютную и относительную погрешность
приближенного числа
если в его
цифры :
записи только верные
Решение:

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Основная задача теории погрешности заключается в следующем: по известным погрешностям некоторой системы параметров требуется определить погрешность функции этих параметров.
Определение погрешности функции по известным погрешностям аргументов

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Для начала рассмотрим случай вычисления функции
одного аргумента
Абсолютная погрешность вычисления функции равна
произведению абсолютной величины ее производной
на абсолютную погрешность ее аргумента:

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Рассмотрим относительную погрешность вычисления
функции одной переменной. Учитывая, что
Так как
то
можно записать так:

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Относительная погрешность степени равна относительной
погрешности основания, умноженной на абсолютную
величину показателя степени.
Абсолютная погрешность равна
Для основных элементарных функций получаем
следующие правила
Степенная функция

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Показательная функция
Абсолютная погрешность показательной функции равна
Относительная погрешность показательной функции равна
Для функции
получаем:
Логарифмическая функция
Абсолютная погрешность натурального логарифма числа
равна относительной погрешности самого числа:

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Тригонометрические функции.
Абсолютные погрешности синуса и косинуса не
превосходят абсолютных погрешностей аргумента:
Абсолютная погрешность тангенса и котангенса всегда
больше абсолютной погрешности аргумента:

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
№1
Определение погрешности функции многих переменных
по известным погрешностям аргументов
абсолютную погрешность можно вычислить по формуле:
Для непрерывно дифференцируемой функции
где
- абсолютные погрешности аргументов

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Относительная погрешность вычисляется по формуле:
Учитывая, что
получим

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Пример 1.
Пусть
Абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
Относительная погрешность суммы:

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Попробуем оценить границы относительной погрешности
суммы. Выберем из всех относительных погрешностей
наибольшую и тогда можно записать:
Таким образом, предельная относительная погрешность
суммы положительных чисел не превосходит максимальной
относительной погрешности слагаемых.

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Пример 2.
Пусть
Абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных погрешностей аргументов.
Относительная погрешность разности:

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Пример.
Пусть
Тогда
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
При вычитании близких по значению чисел относительная
погрешность может существенно возрастать…

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Абсолютная и относительная погрешность вычисления
произведения и частного приближенных чисел
При умножении и делении приближенных чисел складываются их относительные погрешности, т.е. относительная погрешность выражения
оценивается величиной
Абсолютная погрешность в этом случае вычисляется
через относительную погрешность:

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Определение допустимой погрешности
аргументов по допустимой погрешности функций
Эта задача имеет однозначное решение только для
функции одной переменной
: если эта функция
дифференцируема и
, то
Для функции нескольких переменных
решается только при наличии дополнительных
ограничений. Если значение одного из аргументов трудно измерить с высокой точностью других аргументов, то погрешность именно этого аргумента надо согласовать с требуемой погрешностью функции.

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Если значения всех аргументов можно одинаково легко
определить с любой точностью, то обычно применяют
принцип равных влияний, считая, что в формуле
все слагаемые равны между собой;
это дает следующую формулу:

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
Пример.
Найти допустимую абсолютную погрешность приближенных
величин
, для которых возможно найти
значение функции
с точностью до двух
десятичных знаков после запятой.
Решение.
Находим

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1
По условию
. Тогда согласно принципу равных
влияний по формуле
находим

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я М А Т Е М А Т И К А
№1