Правильные многогранники

Что такое правильный многогранник?
Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

История
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
Резной каменный шар
Игральная кость

История
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.
Пифагор

История
Многие утверждают, что Пифагору были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

История
Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «Платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей, где сопоставил каждую из четырёх стихий определённому правильному многограннику. Огню соответствовал тетраэдр, земле — гексаэдр, воздуху — октаэдр, воде — икосаэдр. Что же касается вселенной, то ей приписывали форму додекаэдра.
Платон
Платоновы тела

Платон
Платон — афинский философ классического периода Древней Греции, основатель платонической школы мысли и Академии, первого высшего учебного заведения в западном мире.
Он широко считается одним из самых важных и влиятельных людей в истории человечества и ключевой фигурой в истории древнегреческой и западной философии вместе со своим учителем Сократом и его самым известным учеником Аристотелем.

Количество правильных многогранников
Существует не более пяти различных видов правильных многогранников.
Доказательство: Из определения правильного многогранника следует, что его гранями могут быть лишь треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Действительно, докажем например, что грани не могут быть правильными шестиугольниками. По определению правильного многогранника, в каждой его вершине должны сходиться не менее трех граней. Однако, в правильном шестиугольнике углы равны 120°. Получается, что сумма трех плоских углов выпуклого многогранного угла равна 360°, а это невозможно, так как эта сумма всегда меньше 360°. Тем более грани правильного многогранника не могут оказаться многоугольниками с большим числом сторон.

Теорема Эйлера
Пусть В – число вершин выпуклого многогранника, Р – число его ребер и Г – число граней. Тогда верно равенство: В–Р+Г=2.

Тетраэдр
Тетраэдр — (tetras - четыре, hedra - основание). Тело ограниченное четырьмя равносторонними треугольниками четырехгранник.
Теорема Эйлера:
В=4, Р=6, Г=4
В-Р+Г
4-6+4=2

Гексаэдр
Гексаэдр – (hex - шесть, hedra - основание). Куб, тело ограниченное шестью квадратами.
Теорема Эйлера:
В=8, Р=12, Г=6
В-Р+Г
8-12+6=2

Октаэдр
Октаэдр – (okto – восемь, hedra - основание). Правильный восьмигранник, ограниченный восьмью правильными треугольниками.
Теорема Эйлера:
В=6, Р=12, Г=8
В-Р+Г
6-12+8=2

Додекаэдр
Додекаэдр — (dodeka – двенадцать, hedra - грань), один из пяти типов правильных многогранников, имеющий 12 пятиугольных граней, 30 ребер и 20 вершин, в каждой из которых сходятся 3 ребра.
Теорема Эйлера:
В=20, Р=30, Г=12
В-Р+Г
20-30+12=2

Икосаэдр
Икосаэдр — (eikosi – двадцать, hedra - грань), один из 5 типов правильных многогранников, имеющий 20 треугольных граней, 30 ребер и 12 вершин, в каждой из которых сходятся 5 ребер
Теорема Эйлера:
В=12, Р=30, Г=20
В-Р+Г
12-30+20=2