Predel_funktsii

История возникновения пределов
Интуитивно понятие о предельном переходе при вычислении площадей и объемов различных геометрических тел использовалось в работах древнегреческого математика Архимеда (287 до н.э. – 212 до н.э.).

История возникновения пределов
Дальнейшее свое применение теория пределов получила при создании дифференциального и интегрального исчислений в 17 в. в работах английского физика, математика Исаака Ньютона (1642-1727).

История возникновения пределов
Впервые определение понятия предела было введено в работе английского математика Джона Валлиса (1616-1703) «Арифметика бесконечных величин».

История возникновения пределов
В 19 веке в работах великого французского математика и механика Огюстена Луи Коши (1789-1857) теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа.

История возникновения пределов
Дальнейшим развитием этой теории занимались немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897) и чешский математик, философ и теолог Бернард Больцано (1781-1848).

Предел функции на бесконечности.
Бесконечность — используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел.
Бесконечность –сколь угодно большое(малое), безграничное число.
Если рассмотреть координатную плоскость то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо(в них или вверх).

Окрестность точки

Предел функции на бесконечности.
Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:
Предел функции на плюс бесконечности.
Будем читать наше выражение как:
предел функции y=f(x) при x стремящимся к плюс бесконечности равен b

Предел функции на бесконечности.
Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:
Будем читать наше выражение как:
предел функции y=f(x) при x стремящимся к минус бесконечности равен b
Предел функции на минус бесконечности.

Предел функции на бесконечности.
Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:
Тогда принято записывать как:
или
предел функции y=f(x) при x стремящимся к бесконечности равен b

Предел функции на бесконечности.
Пример.
Пример. Построить график функции y=f(x), такой что:
Область определения – множество действительных чисел.
f(x)- непрерывная функция
Решение:
Нам надо построить непрерывную функцию на (-∞; +∞). Покажем пару примеров нашей функции.

Что такое предел функции в точке?
Изображен график непрерывной функции. Значение нашей функции в точке a f(a)=b.

Что такое предел функции в точке?
Изображен график с так называемой выколотой точкой, значения нашей функции в точке а не существует, посмотрите внимательно на график, наше значение как будто взяли и выкололи.

Что такое предел функции в точке?
Изображен график значение, которого в точке а существует, но где то отдельно от всего графика, f(a) – расположена выше нашего графика.

Что такое предел функции в точке?
На наших рисунках изображены графики трех разных функций. Если мы не будем рассматривать точку а, то графики функций совпадают. При x<а и x>а графики совершенно одинаковые.
Все случаи описанные для наших рисунков, на математическом языке записывается как:
Читается как: предел функции y=f(x) при x стремящимся к а равен b.

Предел функции на бесконечности.
Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими утверждениями:
1) Для любого натурально числа m справедливо следующее соотношение:
2) Если
то:
а) Предел суммы равен сумме пределов:
б) Предел произведения равен произведению пределов:
в) Предел частного равен частному пределов:
г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
Основные свойства.

Предел функции на бесконечности.
Пример. Найти
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на x.
Вспомним предел числовой последовательности.
Воспользуемся свойством предел частного равен частному пределов:
Пример.
Получим:
Ответ:

Предел функции на бесконечности.
Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности.
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.
Воспользуемся свойствами предела на бесконечности
Предел числителя равен: 5-0=5; Предел знаменателя равен: 10+0=10
Пример.

Предел функции на бесконечности.
Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности.
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.
Воспользуемся свойствами предела на бесконечности
Предел числителя равен: 0; Предел знаменателя равен: 8
Пример.

Найти предел функции:
Наша функция непрерывна в точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности функции в точке, которое говорит что если функция непрерывна в точке, то предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке.

Найти предел функции:
Давайте посмотрим не обращается ли знаменатель нашей функции при x=π/2 в нуль:
Знаменатель не равен нулю, тогда наша функция непрерывна в точке . Воспользуемся определением непрерывной функции и посчитаем предел нашей функции:

Найти предел функции:
Подставим x=2 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте внимательно посмотрим на числитель нашей дроби.
Сократим нашу дробь
y= x+2 непрерывна точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности

Найти предел функции:
Подставим x=1 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте найдем корни квадратного уравнения в числители и воспользуемся теоремой Виета.