Презентация на тему Система координат в пространстве

Вспомним, как определяется координатная(числовая) прямая.
Изображаем произвольную прямую;
х
0
1
М
а
Тогда любой точке этой координатной прямой соответствует единственное действительной число a. И наоборот, любое действительное число может быть изображено единственной соответствующей точкой, для которой это число является координатой. Записывают: M(a).
2) Придаем ей положительное направление и обозначаем её;
3) Выбираем произвольную точку за начало отсчета;
4) Определяем длину единичного отрезка (масштаб).

А теперь, что мы подразумеваем под координатной плоскостью.
у
х
0
1
1
М
а
b
M(a; b)

x
y
z
0
1
Ox ⊥ Oy ⊥ Oz
Ox – ось абсцисс
Oy – ось ординат
Oz – ось аппликат
Координатные оси:
Выберем в пространстве три попарно перпендикулярные координатные прямые x, y, z, пересекающиеся в одной точке 0, соответствующей началу координат каждой оси.
1
1
Пунктиром показаны отрицательные части осей.

x
y
z
0
1
1
1
Координатные плоскости:
Oxz
Oxy
Oyz

Координатные плоскости:
xz
⊥
xy
⊥
yz

Положение любой точки в пространстве определяется тремя координатами . Проследим как их получить:
1) проведем перпендикуляр из точки A к плоскости Oxy , обозначив точку пересечения Axy ( или Axy – ортогональная проекция точки A на плоскость Oxy ) ;
x
y
z
0
1
1
A
Axy
1

x
y
1
1
A
Ayz
Axz
Axy
Ax
Ay
z
1
2) Далее, в плоскости Oxy, из точки Axy опустим перпендикуляры на координатные оси этой плоскости;
3) Построим прямую пересечения AxAxz плоскостей Оxz и (AAxуAx) – по свойству она параллельна AAху; аналогично, Оуz  (AAxуAу)= AyAyz;
0

x
y
1
1
A
Ayz
Axz
Axy
Ax
Ay
z
1
4) Таким образом, мы получили ортогональные проекции точки A на координатные плоскости – точки Axz и Ayz;
5) Осталось опустить перпендикуляры из точек Ayz и Axz на координатную ось аппликат;
0
Az

x
y
0
1
1
1
A
Ayz
Axz
Axy
Ax
Az
Ay
z
Тогда, AAx ⊥ Ox, AAy ⊥ Oy и AAz ⊥ Oz (объясните почему?). Числа a; b; c, соответствующие координатам точек Ax, Ay и Az на числовых осях и являются координатами точки A. Записывают : A(a; b; c). Очевидно, что начало координат в пространстве O(0; 0; 0).
c
b
a

x
y
0
1
1
1
A
Ayz
Axz
Axy
Ax
Az
Ay
z
Координаты точки можно понимать как линейные размеры |a| × |b| × |c| прямоугольного параллелепипеда (если координата отрицательная, то берется модуль числа), а положение точки – противоположная началу координат вершина получающегося прямоугольного параллелепипеда. Т.е. модуль каждой координаты равен расстоянию от данной точки до одной из координатных плоскостей.
|a|
|b|
|c|
a
c
b

1
x
y
z
0
1
1
2
3
2
Пример 1. Изобразить точки A(1; 2; 3), B(−2; 2; 1) и C(2; −2; − 3).
A(1; 2; 3)
Для изображения точки A построим ломанную, состоящую из трех последовательных звеньев. От начала координат откладываем 1 ед.отр. вдоль оси Ox. Затем второе звено длиной 2 ед.отр. параллельно оси Oy. И последний отрезок длиной 3 ед.отр. параллельно оси Oz.

x
y
z
0
1
1
A
1
2
3
2
A(1; 2; 3)
B
−2
B(−2; 2; 1)
C(2; −2; − 3)
C
−2
2
−3
Проследите и самостоятельно сформулируйте построение точек B и C.

1). Если одна из координат точки равна 0, то точка лежит в одной из координатных плоскостей; (например, M∈Oyz, N∈Oxz, K∈Oxy).
x
y
z
0
1
1
1
Отметим некоторые свойства координат точек:
2). Если две координаты точки равны 0, то точка принадлежит одной из координатных осей; (например, P∈Ox, S∈Oy, R∈Oz).
−2
−2
3
3
M(0; −2; 3)
N(−2; 0; 1)
K(1; 3; 0)
2
2
−2
P(2; 0; 0)
R(0; 0; −2)
S(0; 2; 0)

x
y
z
0
1
1
A
1
a
b
c
Пусть A(a; b; c)
−a
−b
−c
A0
Построим точку A0, симметричную данной точке относительно точки O.
3). Тогда координаты точки A0(−a; −b; −c).
Центральная симметрия

x
y
z
0
1
1
A
1
a
b
c
Пусть A(a; b; c)
−c
−b
A1
Построим точку A1, симметричную данной точке относительно оси Ox.
4). Тогда координаты точки A1(a; −b; −c).
Осевая симметрия

x
y
z
0
1
1
A
1
a
b
c
Пусть A(a; b; c)
−c
−a
A2
Построим точку A2, симметричную данной точке относительно оси Oy.
5). Тогда координаты точки A2(−a; b; −c).
Осевая симметрия

x
y
z
0
1
1
A
1
a
b
c
Пусть A(a; b; c)
−a
−b
A3
Построим точку A3, симметричную данной точке относительно оси Oz.
6). Тогда координаты точки A3(−a; −b; c).
Осевая симметрия

x
y
z
0
1
1
A
1
a
b
c
Пусть A(a; b; c)
−c
A4
Построим точку A4, симметричную данной точке относительно плоскости Oxy.
7). Тогда координаты точки A4(a; b; −c).
Зеркальная симметрия

x
y
z
0
1
1
A
1
a
b
c
Пусть A(a; b; c)
−b
A5
Построим точку A5, симметричную данной точке относительно плоскости Oxz.
8). Тогда координаты точки A5(a; −b; c).
Зеркальная симметрия

x
y
z
0
1
1
A
1
a
b
c
Пусть A(a; b; c)
A6
9). Тогда координаты точки A6(−a; b; c).
Зеркальная симметрия
Построим точку A6, симметричную данной точке относительно плоскости Oyz.
−a

x
y
0
1
1
A
z
1
Расстояние между точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2)
B
x1
x2
y1
y2
z1
z2
|x1–x2|
|y1–y2|
|z1–z2|
C