Простейшие функции и их графики

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК

Функция вида y = kx +b, где k и b числа, а x и y переменные, называется линейной функцией.
x – независимая переменная (аргумент)
y – зависимая переменная (функция)

х
у
0
k > 0
возрастающая
х
у
0
k < 0
убывающая
Свойства линейной функции у = kx + в
D (f) = (-∞;+∞)
E (f) = (-∞;+∞)
у = 0 при х = - в/к
Монотонность
в
в
6. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
5. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
7. Функция непрерывна.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

у = 2 х + 3
х =
у = 2 · +3
х
0
= 0 +3 = 3
(0 ; 3)
х =
у = 2 · +3
2
х
= 4+3 =7
(2 ;7)
Выбрав значение х (аргумента), можно легко вычислить значение y (функции)

Совет:
Если коэффициент k положительный,
выбирай положительное значение аргумента; если
отрицательный - отрицательное

Через две точки можно провести только одну прямую линию
Для построения графика линейной функции достаточно двух точек!

Коэффициент
k
называют
угловым коэффициентом.

у = -2х +1
0
-2
1
5

у = 2х - 5
0
3
-5
1

Чем больше угловой коэффициент k, тем больше угол, образованный графиком функции с осью ОХ

k = 0 - график параллелен оси ОХ
x
y
k = 0

Построим несколько графиков линейных функций, у которых одинаковые угловые коэффициенты.

у = -х + 4
у = -х
у = -х - 5
0
4
-2
6
0
0
-3
3
0
-5
-6
1

Если у линейных функций угловой коэффициент одинаковый, то их графики параллельны!

Квадратичная функция и ее свойства.

Определение.
Функция вида у = ах2+bх+с,
где а, b, c – заданные числа, а≠0,
х – действительная переменная, называется квадратичной функцией.
Примеры:
1) у=3х2-1 3) у=4х2
2) у=-2х2+х+3 4) у=-3х2+2х

Графиком является парабола, ветви которой направлены
вверх (если а>0) или вниз (если а<0).
Например:
у=2х²+4х-1 – графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а=2, а>0).
у= -7х²-х+3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а=-7, а<0).
у
0
х
у
0
х

Чтобы построить график функции надо:
Описать функцию:
название функции,
что является графиком функции,
куда направлены ветви параболы.
Пример: у = х²-2х-3 –
квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а=1, а>0)

Вершина параболы:
Задание.
Найти координаты вершины параболы: 1) у = х 2 -4х-5 2) у=-5х 2+3
Ответ:(2;-9) Ответ:(0;3)
Уравнение оси симметрии: х=m
х=2 х=0

Свойства функции у = kx2
1. D (f) = (-∞;+∞)
k > 0 k < 0
x
y
0
3. у = 0 при х = 0
убывает на луче (-∞;0], возрастает на луче [0;+∞)
5. унаим = 0; унаиб – не существует.
6. Ограничена снизу.
2. Е (f) = [0;+∞)
2. Е (f) = (-∞;0]
x
y
0
убывает на луче [0;+∞), возрастает на луче (-∞;0]
5. унаим – не существует; унаиб = 0.
6. Ограничена сверху.
7. Непрерывная, четная.
8. Выпукла вниз. 8. Выпукла вверх.
4.Промежутки монотонности
17.11.2020
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

Пример построения графика квадратичной функции.
F(x)= 2x² + 8x +2
1) Ветви 2) х = -b ∕ 2a= -8∕ 2•2= -2
y = f(x )= 2•(-2)² + 8•(-2)+2= -6
O (-2;-6)
3)
4)
у
х
-2
-6

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида
где x — независимая переменная
у-зависимая переменная
k≠0
Определение обратной пропорциональности

Расположение графика функции «Обратная пропорциональность»
Для k <0 - график расположен во II и IV четверти
0
1

Расположение графика функции «Обратная пропорциональность»
Для k >0 - график расположен в I и III четверти
0
1

Свойства функции
D (f) = (-∞;0)∪(0;+∞)
Е (f) = (-∞;0)∪(0;+∞)
Монотонность
k > 0
k < 0
Функция убывает на промежутках (-∞;0) и (0;+∞)
Функция возрастает на промежутках (-∞;0) и (0;+∞)
4. Функция непрерывна на луче (-∞;0) и луче (0;+∞).
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
6.Не ограничена ни сверху, ни снизу.
7. Функция нечетная
х
х
у
у
0
0
17.11.2020