Qeyri stasionar qaz dinamikasi. Tənliyinin riyazi modelinin. Qurulmasi

İşdə qeyri stasionar qaz dinamikası məsələsini sadə hallarda konservativ fərq sxemi vasitəsilə aproksimasiyasına və alınmış qeyri xətti tənliklər sisteminin Nyuton üsulu ilə həllinə baxılır. Qazın müstəvi axınına birölçülü qeyri stasıonar halda baxıldığını qəbul edəcəyik.
Tutaq ki, -sürət, sıxlıq, temperatur, təzyiq, qazın daxili enerjisidir. Qazın hərəkət tənliyini – qaz dinamikası tənliyini yazaq. Qaz dinamikası sistem tənliyi dəyişənlərində belə yazılır:
Məsələnin riyazi qoyuluşu
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)

(1.6)
Bu tənliklər sisteminin qapalı olması üçün istilik seli üçün əlavə tənlik yazılmalıdır, belə ki,
(1.7)
Burada
istilikkeçirmə əmsalıdır. Əgər ideal qaz halına baxsaq, bu
zaman hal tənlikləri belə yazılır:
.
(1.8)
Bu məsələdə izotermik hala baxacağıq.Bu zaman
olduqda enerji tənliyini
yox etmək olar, çünki onun rolunu
tənliyi yerinə yetirir. Qeyd edək ki,
şərti daxilində təzyiq sıxlığın funksiyası rolunu oynayır
(1.1), (1.4)
(1.9)

(1.10)
Bura (1.8) tənliyini əlavə etsək
(1.11)
alarıq .
Beləliklə, 4 dəyişəndən
asılı dörd tənliklər sistemi alırıq. Biz
sıxlığı
əvəzinə xüsusi həcmdən istifadə edəcəyik
Bu zaman alarıq ki,
(1.12)
(1.13)
Tam enerji üçün (1.10) tənliyini aşağıdakı tənliklərdən biri ilə əvəzləmək olar
(1.14)
(1.15)

(1.9), (1.10) tənliklərinə bütün axtarılan funksiyalar üçün başlanğıc və sərhəd şərtləri mənimsədilir. Bizim məqsədimiz (1.9), (1.10) diferensial tənliklərinə Nyutonun iterasiya üsulunu tətbiq etmək və alınmış fərq tənliklər sistemini qovma üsulu ilə ədədi həllidir.
Həqiqətən də, (1.9)− un birinci tənliyini və (1.12) − ni nəzərə alsaq , alarıq
0=
İzotermik axın;
Bu zaman qazın temperaturu T= const və buna görə də enerji tənliyi buraxılır.
İzotermik axın üçün qaz dinamikası sistem tənliyi ideal qaz üçün aşağıdakı şəklə düşür
p=
(1.16)
burada c= const > 0 −səsin sürətidir, və yaxud da
(1.17)

Bu işdə ideal qazın dinamikası tənliyinə izotermik halda baxacağıq.
(1.9) , (1.10) tənliklərinə bütün axtarılan funksiyalar üçün başlanğıc şərtləri mənimsədilir, yəni
υ (x, 0), ρ (x, 0), p(x, 0) (1.18)
və sərhəd şərtləri, məsələn
− s=0 üçün,
− s=M üçün (1.19)
və ya
− s=0 üçün,
− s=M üçün (1.20)

Diferensial tənliklərin fərqlər approksimasiyası: Diferensial tənliklərin aproksimasiyasının mümkün yollarına qaz dinamikası tənliklərindən biri üçün – hərəkət tənliyi üçün baxaq:
(2.1)
Sürət υ və təzyiqin p kəsilməz arqument funksiyasını ω şəbəkəsində şəbəkə funksiyası ilə əvəz edək və onlar üçün υ və p işarələrini saxlayaq. Hələlik fərz edəcəyik ki, bu şəbəkə funksiyaları
− düyün nöqtələrində hesablanılır.
şəkil 2.1
Yuxarıda daxil edilmiş (2.1) tənliyini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
(2.2)
(2.3)
Bu yazılarda iştirak edən düyün nöqtələri dəsti şablon adlanır (şəkil 2.1). (2.1) tənliyinin (2.2), (2.3) vasitəsilə aproksimasiyasının xətası
düyün nöqtələrində zaman və fəza üzrə birinci tərtib
dəqiqliyə
malikdir.

Mərkəzi fərqlə fəza üzrə bu tənliyin dörd nöqtəli şablonda aproksimasiyası 2-ci tərtib dəqiqliyə
malikdir.
(2.4)
Amma göstərmək olar ki, belə nöqtələr vasitəsilə aproksimasiya dayanıqsız sxemlərə gəlir. (2.1) tənliyinin aproksimasiyasına daha bir yanaşma mövcuddur.
Təzyiq şəbəkə funksiyasına yarıtam zaman, layında yarıtam nöqtədə
sürət funksiyasına isə tam
nöqtələrinə nəzərən baxaq.
Bu zaman fərqlər tənliyi şəkil 2.2 – dəki şablonda, indeksli formada aşağıdakı
şəkildə olar:
(2.5)
Burada təzyiqin fərq törəməsi
nöqtəsinə nəzərən simmetrikdir və
2 – ci tərtib aproksimasiyaya
malikdir.

Sürətin fərq törəməsi də həmçinin zaman üzrə
nöqtəsində 2-ci tərtib
aproksimasiyaya malikdir. Bu o deməkdir ki, (2.5) tənliyi (2.1) diferensial
tənliyini bu nöqtədə
tərtib dəqiqliyi ilə aproksimasiya edir. (2.4)
sxemindən fərqli olaraq, (2.5) – münasibətində təzyiqin törəməsi qonşu yarıtam nöqtələr üzrə təyin edilir ki, bu da dayanıqsız sxemlərdən qaçmağa imkan verir. Belə şəbəkə şahmat formalı şəbəkə adlanır. Fərqlər sxeminin yazılışını sadələşdirmək üçün belə bir işarələmə daxil edək:
Bu zaman (2.5) münasibəti indekssiz şəkildə aşağıdakı kimi yazılar
(2.6)
Əvvəllər (2.1) – də biz j – cu və ya
Bu formada qurulan sxemlər aşkar sxemlər adlanır. Belə tənliyə yalnız bir naməlum (j+1) – ci zaman layındakı qiymət
− ci zaman layından istifadə edirdik.
Əgər şəbəkə funksiyalarının j – cu zaman layında qiymətləri -
-daxildir
məlumdursa, onda
qiyməti aşkar şəkildə ifadə olunur, məsələn, (2.6) – dan alınır
ki,
Bu zaman yarıtam nöqtələr şablonunda (şəkil 2.3), analoji olaraq alarıq ki,
Təbii ki, fərqlər tənliyi üçün yuxarı zaman layından istifadə
etmək olar.

.
(2.7)
Burada
yazılışı bu kəmiyyətin (j+1) – ci layda hesablanılmasını göstərir, yəni
(i, j+1) nöqtəsində (2.1) tənliyinin (2.7) vasitəsilə aproksimasiyasının xətası
Beləki, burada yuxarı layda bir neçə müxtəlif naməlum kəmiyyətlər iştirak edir və bunlar üçün aşkar forma, yəni j – ci lay vasitəsilə ifadə etmə alınmır. Qeyri aşkar fərqlər tənliyinin həlli isə əlavə məsələ meydana çıxarır. Növbəti sxemlərdə yazılışın ixtisarı üçün belə bir işarələmədən istifadə edəcəyik,
- ə bərabərdir.
(2.7)
(2.8)
münasibətini belə yazmaq olar
(2.9)
σ=0.5 xüsusi qiyməti üçün (2.9) münasibəti
nöqtəsinə nəzərən
burada, σ – çəki vuruğu adlanır. Bunun köməyilə
fərq tənliyi qeyri aşkar sxem adlanır.
aproksimasiya tərtibinə, qalan hallarda isə
− na bərabərdir.