Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Лекция 2.2

Дробно – рациональная функция
Привести неправильную дробь к правильному виду:

Интегрирование простейших дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:
Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере.

Метод неопределенных коэффициентов

Теорема 1.3. Всякая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.

1.4. Интегрирование некоторых иррациональностей
m – общий знаменатель дробей α,…,γ.

2. Определенный интеграл
Коши (1823) ввел с доступной в то время строгостью понятие интеграла непрерывной функции как предела суммы. Риман (1854), просто как попутное замечание в своей диссертации, посвященной тригонометрическим рядам, определил интеграл для более общего класса функций. Далее мы рассмотрим теорию Римана и ее обобщения, принадлежащие Дюбуа-Реймону и Дарбу. Еще более общие теории, которые мы будем рассматривать позднее, принадлежат Лебегу (1902 г.) .

Определение 2.1. Число I называется пределом интегральных сумм σ(f, Δ, ξ) при λ(Δ) → 0; если для любого положительного числа ε > 0 можно указать такое положительное число δ, что для любого разбиения Δ отрезка [a, b] , диаметр разбиения которого меньше δ: λ(Δ) < δ, независимо от выбора точек ξi на отрезках [xk,xk+1], выполняется неравенство
| σ(f, Δ, ξ) - I| < ε.

Теорема 2.1. Если функция интегрируема, то она ограничена.
Замечание. Ограниченность функции не гарантирует ее интегрируемость по Риману

2.2. Суммы Дарбу и их свойства

Определение 2.3. Если разбиение Δ2 получено из разбиения Δ1 добавлением некоторого числа узлов, то говорят, что разбиение Δ2 следует за разбиением Δ1 (или Δ2 является размельчением Δ1), при этом пишут Δ1 < Δ2 .

5) Пусть разбиение Δ1 отрезка [а, b] получено из разбиения Δ добавлением к последнему р новых точек, и пусть s*, S* и s, S — соответственно нижние и верхние суммы разбиений Δ1 и Δ. Тогда для разностей S − S* и s* − s может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины λ частичных сегментов разбиения Δ, числа р добавленных точек и точных верхней и нижней граней М и m функции f(x) на отрезке [а, b]. Именно,
S – S* ≤ (M - m)pλ, s* - s ≤ (М - m)рλ.