Презентация на тему Методы решения иррациональных уравнений

Метод возведения в степень
Пример 1.
Ответ: 2.

Пример 2.
Ответ: 3.

Пример 3.
.
Проверка:
х = -
посторонний корень

Метод составления смешанной системы
Ответ: 7.
Решение уравнений вида

Ответ: 49.
Метод введения новой переменной

Ответ: [5; 10]

Метод разложения подкоренного выражения на множители
Ответ: 0,5.

Метод умножения на сопряженное выражение
(1)
Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим:
| : 2

Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений
a3 + 1 – 2a + a2 = 1
a3 + a2 – 2a = 0
a1 = 0 a2 = 1 a3 = - 2
Ответ: -2; -1; 7.

Использование монотонности
Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает
(убывает) на некотором промежутке I, то
уравнение f(x) = С, где С – некоторое
действительное число, имеет не более одного
решения на промежутке I.

Самостоятельная работа
Задание: решите уравнение.

При решении уравнений вы можете воспользоваться подсказкой метода решения
или, решив уравнение, проверить ответ

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

Пример 1.
х
Т.к.
, то
2х = 4
х = 2
Показатели степени образуют бесконечную убывающую геометрическую
прогрессию, сумму которой можно найти по формуле
Проверка:

Пример 2.
Пусть
y > 0. Получим уравнение
Тогда у2 + 3у – 4 = 0
у1 = 1, у2 = -4 (не удовлетворяет условию y > 0)
2 – х = 2 + х
х = 0
Проверка показывает, что 0 является корнем уравнения.
Ответ: 0.

х = 4
Ответ: 4.
Пример 3.

(1)
| ∙
х=0 или
Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим
Ответ: -3; 0; 3.
Пример 4.

Пример 5.
1)
2)
х – 3 = 27 х – 3 = -64
х = 30 х = -61
Ответ: -61; 30.

Пример 6.
2х – 5 = у2
|y + 1| + |y + 3| = 14,
т.к. у ≥ 0, то |y + 1| = y + 1, |y + 3| = y + 3
у + 1 + у + 3 = 14
2у = 10
у = 5
Тогда х = 15.
Ответ: 15.

Пример 7.
Пусть f(x) =
Т.к. данная функция строго возрастает на D(f), то уравнение f(x) = 2 имеет не более одного корня на указанном промежутке.
Подбором определяем: х = 1.
Ответ: 1.

Метод возведения в степень
.
, то
Проверка:
х = -
посторонний корень

х + 32 = 81
х = 49
Ответ: 49.
Метод введения новой переменной

Метод составления смешанной системы
Решение уравнений вида

Метод умножения на сопряженное выражение
(1)
3х2 + 5х + 8 = 16
3х2 + 5х – 8 = 0
х1 =
х2 = 1
| .

Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений
a3 + 1 – 2a + a2 = 1
a3 + a2 – 2a = 0
a1 = 0 a2 = 1 a3 = - 2
Ответ: -2; -1; 7.

Использование монотонности
Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает
(убывает) на некотором промежутке I, то
уравнение f(x) = С, где С – некоторое
действительное число, имеет не более одного
решения на промежутке I.
f(x) =
f(x) = 8
x = 4
Пример.
Ответ: 4.

Метод введения новой переменной.
Пусть
х = у2 + 1
|y – 2| + |y – 3| = 1

Ответ: [5; 10]

Метод разложения подкоренного выражения на множители
Ответ: 0,5.

или
х = 1
D < 0, решений нет
Ответ: 1.

Проверка: х =
Показатели степени образуют бесконечную убывающую геометрическую
прогрессию, сумму которой можно найти по формуле