Решение текстовых задач на ЕГЭ

Задачи
на прогрессии.

Арифметическая прогрессия
– формула n-ого члена А.П.
– формула суммы n первых
членов А.П.
Геометрическая прогрессия
– формула n-ого члена Г.П.
– формула суммы n первых
членов Г.П.

№1. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение.
Пусть a1 метров забора бригада покрасила в первый день;
a2 – во второй,
a3 – в третий,
… ,
an – в последний (n-ый) день.
Тогда a1 + an = 60 м, а за n дней было покрашено 240 м.
Ответ: 8.
– дней

№2. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.
Решение.
Пусть a1 = 3 метра тоннеля проложили в первый день;
n = 10 дней,
a10 – в последний (n-ый) день.
Тогда за 10 дней рабочими было проложено 500 м тоннеля.
Ответ: 97.
– метров

№3. Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.
Решение.
Пусть a1 = 5 задач решил Вася в первый день;
n = 14 дней,
a14 – в последний (n-ый) день.
Тогда за 14 дней Васей было решено 490 задач.
Ответ: 65.
– задач

№4. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
Решение.
Пусть a1 = 10 км прошел турист в первый день;
n = 6 дней,
a3 – в третий день,
a6 – в последний (n-ый) день.
Тогда за 6 дней турист прошел 120 км.
Ответ: 18.
– км в последний день
– км в третий день
– км ежедневная прибавка

№5. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.
Решение.
Пусть a1 = 2 тонны щебня грузовик перевез в первый день;
n = 14 дней,
a9 – в девятый день,
a14 – в последний (n-ый) день.
Тогда за 14 дней грузовик перевезет 210 тонн щебня.
Ответ: 18.
– т в последний день
– т в девятый день
– км ежедневная прибавка

№6. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Ответ: 30.
Решение.
Пусть a1 метров проползла улитка в первый день;
an – в последний (n-ый) день.
Тогда a1 + an = 10 м, а за n дней проползла 150 м.
– дней

№7. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
Решение.
Пусть a1 = 10 открыток подписала Вера в первый день;
n = 16 дней,
a9 – в четвертый день,
a16 – в последний (n-ый) день.
Тогда за 16 дней Вера подпишет 640 открыток.
Ответ: 22.
– открыток
– открытки в четвертый день
– км ежедневная прибавка
в последний день

№8. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Ответ: 320 000.
Решение.
Пусть в 2000 году прибыль составила 5000 рублей – 100%;
в 2001 году: ? рублей – 400%;
b1 = 5000
q = 400/100 = 4 – ежегодное увеличение прибыли.
в 2003 году: b4 = b1 · q3 = 5000 · 43 = 320 000 рублей.

№9. Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение.
1) Компания «Альфа»:
Пусть в 2001 году капитал составил 5000 $ – 100%;
в 2002 году: ? $ – 300%;
b1 = 5000
q = 300/100 = 3 – ежегодное увеличение капитала в «Альфа».
в 2006 году: b6 = b1 · q5 = 5000 · 35 = 1 215 000 $.