Решение треугольников

*
Самостоятельная работа
Вариант 1
1.
Вариант 2
1.
45º
120º
х
8
60º
3
х
5
2.
х
х
45º
6
135º
30º
14
2.
3. Определите вид треугольника со сторонами
3; 5; 7
4; 5; 6
Найти Х

*
Определение
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (то есть трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам.
А
В
С
c
b
a

*
Для этого вспомним
Решение данных задач основано на использовании теорем синусов и косинусов, теоремы о сумме углов треугольника и следствии из теоремы синусов: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Причем, при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов.

*
А
В
С
Сумма углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 180º

*
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
Теорема синусов

*
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Теорема косинусов
А
В
С
c
b
a

*
Три задачи на решение треугольника

*
Решение треугольника
по двум сторонам и углу между ними.
C
В
A
a
b
Что можно найти???

*
Решение
2) Если γ- тупой угол, значит α и β острые углы
Если γ –острый угол, то сравниваем а и b, выбираем меньшую
и находим меньший угол (он точно острый)
Допустим это α
3) β =180º- (α + β)
Задача имеет одно решение

*
Решаем задачу 1
С
В
А
Решить треугольник АВС, если a=6,3 см, b=6,3 см, ∠C=54º.
Дано: ΔАВС, a=6,3 см,
b=6,3 см, ∠C=54º.
Найти: ∠А, ∠ В, c.
Ответ

*
Решение треугольника
по стороне и двум прилегающим к ней углам.
C
В
A
a
Что можно найти???

*
Решение:
γ = 180º - (α+β), α+β < 180º
Задача имеет одно решение

*
С
В
А
Решаем задачу 2
Решить треугольник АВС, если ∠А=60º ∠В=40º, с =14см.
Дано: ΔАВС, ∠А=60º,
∠В=40º, с=14см.
Найти: a, b, ∠С.
Ответ

*
Решение треугольника
по трем сторонам.
C
В
A
a
Что можно найти???
b
c

*
Решение
Пусть а – наибольшая сторона треугольника,
Задача имеет одно решение

*
Дано: a=6 см, b=7,7 см,
c=4,8 см.
Найти: ∠А, ∠B, ∠C.
Ответ
Решаем задачу 3
Решить треугольник АВС, если a=6 см, b=7,7 см, c=4,8 см.
C
А
В

*
IV тип задач
по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них
Дано:
∆ АВС
а , в, α
Найти: с, γ, β
а
в
α

*
Решение
1. Если в намного больше а, то sinβ >1 и задача не имеет решений.
2. Если sinβ =1, то β =90º, γ =90º-α,
с = в cosα
в этом случае задача имеет
единственное решение

*
3. Если 0 < sinβ < 1 , то β может быть и острым и тупым углом
Сравниваем а и в
Если а < в, то
существуют два угла β
-острый, значит треугольник- остроугольный
=180º- (α + )-тупой,
значит треугольник-
тупоугольный
В этом случае задача имеет два решения

*
Таблица – памятка
А
С
a
b
В
А
С
γ
a
β
В
А
С
c
a
b
В
γ

*
Ответ к примеру 1
∠А=63º
∠B=63º
c≈5,7 см

*
Ответ к примеру 2
∠C=80º
a≈12,3 см
b≈9,1 см

*
Ответ к примеру 3
∠А=54º52´
∠B=84º16´
∠C=40º52´

*
Найди ошибку