Решение задач № 6 ЕГЭ

Основные типы задач № 6
Нахождение длин и углов с использованием свойств:
прямоугольного треугольника;
произвольного треугольника;
медиан, биссектрис, высот треугольника;
трапеции;
смежных и вертикальных углов;
вписанных и центральных углов;
касательной к окружности;
нахождение площадей плоских фигур.

1. Задача на нахождение элемента прямоугольного треугольника
([2])
В треугольнике АВС угол С равен 90°, сторона АВ равна 8, синус угла А равен 0,25. Найдите сторону ВС.
?

Дано:
Δ АВС,
∠С = 90°,
АВ = 8,
sin ∠А = 0,25.
____________
ВС - ?

2. Задача на свойства внутренних и внешних углов треугольника
([2])
В треугольнике АВС угол А равен 14°, внешний угол при вершине В равен 91°. Найдите угол С.
?

Дано:
АВС ,
А = 14°,
СВD = 91°.
___________
AСB - ?.
Решение.
Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то
∠САВ + ∠АСВ = ∠СВD, откуда
∠ACВ = ∠СВD - ∠САВ = 91°- 14° = 77°.
Ответ: 77°.

3. Задача на нахождение углов прямоугольного и произвольного треугольников
([2])
В треугольнике АВС угол А равен 41°, угол В равен 74°, высоты АD и ВЕ пересекаются в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.
?

Дано:
АВС,
А = 41°, ∠В = 74°;
АD ⊥ ВС, ВЕ ⊥ АС,
D ∈ ВС, Е ∈ АС;
АD ∩ ВЕ = О.
__________________
∠ АОВ - ?
Решение.
Рассмотрим треугольники АDB, BEA, а затем AOB.
АDB: ∠ADВ = 90° (т.к. AD - высота); ∠ AВD=74° (по условию). Значит, ∠ВАD= 90°-74°=16°.
BЕА: ∠ВЕА = 90° (т.к. ВЕ - высота); ∠ВАЕ=41° (по условию). Значит, ∠АВЕ= 90°- 41°=49°.
АОВ: ∠ВАО = ∠ВАD =16°, ∠АВО = ∠АВЕ = 49°, откуда
∠ АОВ = 180°- (16°+ 49°)= 115°.
Ответ: 115°.

4. Задача на свойство биссектрисы
([1], вар 140, №6)
В треугольнике АВС проведена биссектриса ВK. Определите длину отрезка АK, если известно, что АВ=7,5, ВС=6, СK=4.
?

Дано:
АВС, K ∈ AC,
∠ABK = ∠CBK,
АВ=7,5, ВС=6, СK=4.
______________
AK - ?
7,5
6
4

5. Задача на вписанные углы
([1], вар. 3, № 6)
На окружности отмечены точки А, В и С. Дуга окружности АС, не содержащая точку В, составляет 130°. Дуга окружности ВС, не содержащая точку А, составляет 72°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

О

Задачи для самостоятельного решения [1]
В треугольнике АВС СН – высота, AD – биссектриса, О – точка пересечения прямых СН и AD, угол BAD равен 37°. Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике АВС АD – биссектриса, угол С равен 80°, угол BAD равен 24°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
A
B
C
D
24 °
80 °
А
В
С
Н
D
O
37 °

Ответы
127°.
104°.

Домашнее задание: