Скалярное произведение векторов

Угол между векторами
α
Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.
О

Найти углы между векторами.
300
300
1200
900
1800
00
Два вектора называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 900.

№ 441 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Найдите угол между векторами.
450
1350
600
450
900
900
00
C
B
A
D
C1
D1
A1
B1
1800

№ 442 Угол между векторами и равен . Найдите углы между векторами
ϕ
ϕ
C
А
(C)
(A)
ϕ
ϕ
1800–ϕ
1800–ϕ

Сумма векторов – вектор.
Разность векторов – вектор.
Произведение вектора на число – вектор.
Скалярное произведение векторов – число (скаляр). Скаляр – лат. scale – лестница, шкала.
Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение в физике

cos 900
= 0
0
⇔
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

cos
Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый.
⇔
α
> 0
> 0

cos
Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой.
⇔
α
< 0
< 0

cos 00
1
cos1800
-1

cos
00
1
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

D1
№ 443 АВСDA1B1C1D1 – куб. Найдите скалярное произведение векторов
C
B
A
D
C1
A1
B1
a
a
300

Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и
N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что
B
C
N
A
D
M

Маленький тест
5
3
2
ВЕРНО!
1
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Проверка
На каком расстоянии от плоскости xOy находится точка А(2; -3; 5)
2

5;
3.
1
ВЕРНО!
2
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Проверка
4;
На каком расстоянии от начала координат находится точка А(-3; 4; 0)

2
ВЕРНО!
1
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Найти координаты середины отрезка, если концы его
имеют координаты и
A(-3; 2;-4) B(1;-4; 2)
C(-1;-1;-1)
C(-2; 1;-1)
C(-2;-2;-2)
Проверка

1
ВЕРНО!
2
3
ПОДУМАЙ!
Проверка
Дан квадрат АВСD.
Найдите угол между векторами и .
1350;
900.
450;
ПОДУМАЙ!

Скалярное произведение координатных векторов
и :
3
ВЕРНО!
2
1
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Проверка
равно нулю, т.к. угол между
векторами прямой
1
– 1
0
x

1
ВЕРНО!
2
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Проверка
Скалярный квадрат вектора равен:
7 i
49
7
1
Скалярный квадрат вектора
равен квадрату его длины.

2
ВЕРНО!
1
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Записать координаты вектора

3
ВЕРНО!
2
1
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Проверка
500
600
1200
Найдите угол между векторами и , если
Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой