Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Функция f(x) называется
возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек
x1 и x2 из этого отрезка верно утверждение: x1 < x2 , f(x1)< f(x2).
Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
Функция f(x) называется
убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек
x1 и x2 из этого отрезка верно утверждение: x1 < x2 , f(x1)> f(x2).
Другими словами, чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции.
ПОВТОРИМ : ВОЗРАСТАЮЩАЯ И УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИИ
Промежутки, в которых функция у = f (х) возрастает или убывает называются промежутками монотонности функции у= f (x).

Достаточное условие экстремума:
Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е.точки,
принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или не существует.
если в некоторой точке х0 производная функции f ( х) обращается в нуль и, кроме того, проходя через нее слева направо, меняет свой знак, то в этой точке функция достигает экстремума:
если производная меняет знак с «+» на «–», то х0– точка максимума функции f (х ) ;
- если производная меняет знак с «–» на «+», то х0 – точка минимума функции f (х ).
Необходимое условие экстремума
(теорема Ферма): если точка х0 является точкой экстремума функции f (х), и в этой точке существует производная f ’(x), то она равна нулю: f ’(x) =0 .

Поведение функции при её исследовании с помощью производной
на экстремумы проиллюстрируем таблицами:
ПРИЗНАК МАКСИМУМА ФУНКЦИИ
ПРИЗНАК МИНИМУМА ФУНКЦИИ