Сравнение бесконечно малых

Пусть α ( x ) и β ( x ) б.м.ф. при x → x0. Рассмотрим
§ 7. Сравнение бесконечно малых
Опр. 33. α ( x ) и β ( x ) – б.м. одного порядка малости, если
Опр. 34. α ( x ) – б.м. высшего порядка малости относительно β ( x ), если
Опр. 35. α ( x ) – б.м. низшего порядка малости относительно β ( x ), если
пишут: α ( x ) = o (β ( x )) или α ( x ) << β ( x )
пишут: β ( x ) = o (α ( x )) или β ( x ) << α ( x )

Опр. 37. Пусть α ( x ) и β ( x ) – б.м. при x → x0.
α ( x ) называется б.м. k - го порядка малости относительно β ( x ), если
Число k называется порядком малости
α и β одного порядком малости
Теорема 6. Произведение б.м. α ( x ) и β ( x ) есть б.м. высшего порядка малости по сравнению с каждым из сомножителей.
α ( x ) β ( x ) << α ( x )

Опр. 38. Пусть f ( x ) и g ( x ) б.б.ф. при x → x0. Рассмотрим
Сравнение бесконечно больших функций. Эквивалентные бесконечно большие
1. Б.б. f ( x ) и g ( x ) при x→x0 называются б.б. одного порядка роста, если
2. Б.б. f ( x ) – низшего порядка роста относительно g ( x ), если
3. Б.б. f ( x ) – б.б. высшего порядка роста относительно g ( x ), если
пишут: f ( x ) << g ( x )
пишут: f ( x ) >> g ( x )
4. Б.б. f ( x ) и g ( x ) при x→x0 называются эквивалентными, если
пишут: f ( x ) ~ g ( x )

Свойства
1. Сумма б.б. величин разных порядков эквивалентна слагаемому высшего порядка роста.
2. При вычислении пределов произведения и частного б.б. величины можно заменять их эквивалентами.
3. Произведение двух б.б.ф. имеет высший порядок роста относительно каждого из сомножителей