Средние величины. (Лекция 4.2)

Дисперсия .Среднее квадратическое отклонение
Средняя квадратическая
Средние показатели динамики

Дисперсия
Простейшим способом изучения вариации признака в сово­купности является размах вариации или ее амплитуда (R) Вели­чина R определяется как разность между максимальным и мини­мальным значениями признака в изучаемой совокупности.
R = xmax – xmin
Пример 3. Распределение рабочих N-ского предприятия по возрасту.
R=65-17=48 (лет)

Достаточно просто вычисляется среднее квадратическое отклонение для определения размаха вариации качественных (альтернативных) признаков. Формула выглядит так:
р1 – частота первой варианты признака;
р2 - частота второй варианты признака;
n – число наблюдений.
Пример 4:
Даны сведения об успеваемости группы студентов в количестве 24 человек. После очередной экзаменационной сессии 6 человек имеют задолженности по тем или иным учебным дисциплинам, а 18 человек сдали успешно все экзамены.

Дисперсии при интерпретации выражаются в тех же единицах, что и сами признаки. Это приводит, к тому, что будучи выражены в разных единицах измерения, средние квадратические отклонения несравнимы. То есть, нельзя сравнивать количество детей с земельной площадью. В случае необходимости пользуются коэффициентом вариации (V), определяемым как отно­шение стандартного отклонения к средней арифметической.
Полученную величину можно выразить в процентах. Сопоставление коэффициентов вариации нескольких признаков рас­ширяет возможности исследователя при анализе и интерпретации распределений признаков - их равномерности, нормальности, колеблемости.

Какое место занимает дисперсия в исторических исследованиях?
Во-первых, она является необходимым и обязательным дополнительным показателем при сравнении средних и сопоставлении различных группировок.
Во- вторых, с ее помощью проверяется и обосновывается правомер­ность применения математических методов. Дисперсия служит своеобразным индикатором однородности изучаемой совокупности и нормальности ее распределения.
В-третьих, сравнение дисперсий различных признаков позволяет судить об их качественном значении в рассматриваемой системе. Дисперсии помогают не потерять сглаженное средними показателями своеоб­разие признаков изучаемого явления.

Средняя квадратическая

Пример 5:
Предположим, что имеются три участка земли. Протяжен­ность одного -100 м, второго - 200 м, третьего - 300 м. Надо определить среднюю протяженность земельного участка. Величи­на средней арифметической = 200 м [(100+200+300)/3]. Ее реаль­ность можно проверить, подсчитав площадь земельных участков, предположив, что они квадратной формы. Реальная площадь - 1007+2002+ 3 002 = 140 000 м2, а площадь трех участков со стороной 200 м - 3(200)2=120 000 м2. Получилось, что мы "потеряли" в виду усреднения 20 000 м2. Следовательно, средняя арифметическая нас не удовлетворяет.

Средние показатели динамики
К средним показателям динамики относятся средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средний темп роста. Все они выступают характеристиками тенденции.
Средний уровень (у) интервального динамического ряда определяется как простая средняя арифметическая из уровней за равные промежутки времени или как средневзвешенная из уровней за неравные промежутки времени, длительность которых выступает в качестве "весов".

Пример 6:
Добыча нефти в СССР в 1976 - 1980 гг.
Как показывают данные таблицы, промежутки времени в примере 6. равные: по одному году. Значит мы должны применить здесь формулу простой средней арифметической для определения среднегодового уровня добычи нефти за 5 лет.
Средний уровень годовой добычи нефти за период 1976 - 1980 х.г. составил: 565,2 млн.т.

Пример 7.
Распределение занятости учебно-вспомогательного персо­нала в приемной комиссии.
В примере 7 временные промежутки разные - 14 дней, 7 дней, 6 дней, 4 дня. В данном случае надо использовать формулу средневзвешенной.

Пример 8.
На 1 января 1924 г. в Средне-Волжском районе было зарегестрировано 47 546 переселенцев-мужчин (это не значит, что все они прибыли сюда 1 января), на 1 января 1925 г.- 46 725 мужчин, на 1 января 1926 г.-64 368 мужчин. Определить среднегодовое количество прибывших в Средне-Волжский район мужчин в 1924-26 гг.

В случае, если промежутки между датами моментного ряда не равны, хронологическая средняя вычисляется по формуле:
T – промежутки между датами;
Y12,Y3…Yn – уровни ряда;
n – количество уровней.

Часть математиков считают проблему вычисления среднего уровня моментного ряда при неравных временных промежутках спорной. Однако в исторических исследованиях использование этой формулы возможно при тщательном контроле исходных данных и результатов вычисления качественным анализом.

Определение "начального" и "конечного" уровней динамиче­ского ряда в каждом вычислении зависит от задач исследования. По одной группировке можно определить несколько средних зна­чений абсолютного прироста за разные временные промежутки.
Подсчитате средний абсолютный прирост по данным при­мера 8.
У1,=47546; Уn= 64368. Чему равно n?

Приведенные показатели служат основными характеристиками, применяемыми для анализа динамических рядов. Они позволяют судить об абсолютном и относительном изменениях уровней ряда. В заключение необходимо сделать несколько замечаний.
1. Все перечисленные показатели обладают высокой точ­ностью и достоверностью при небольших колебаниях в значениях признака.
2. Средние хронологические особенно полезно вычислять при сравнительном анализе двух и более динамических рядов.

Дополнительная литература
1. Джини К. Средние величины. - М., 1970.
2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. - М., 1995. - С.66-103, 257-306.
3. Измайлова М.О., Рахманкулов И.Ш. Категория "средняя величина" и ее методологическое значение в научном исследо­вании. - Казань, 1982.
4. Славко Т.И. Математико-статистические методы в истори­ческих исследованиях. - М., 1981. - С.47-57.
5. Пасхавер И.С. Средние величины в статистике. - М., 1979.
6. Общая теория статистики. - М., 1984. - С.54-78, 94-104, 195-201.